Question

已知关于x的方程x²-（m+5）x+3（m+2）=0．
（1）求证：无论m取何实数值，方程总有两个实数根；
（2）如果Rt△ABC的斜边长为5，两条直角边长恰好是这个方程的两个根．求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）要证明方程总有两个实数根只要证明方程的判别式是非负数即可求解；
（2）设Rt△ABC的两条直角边分别为a、b，首先利用根与系数的关系可以得到关于a、b的方程组，然后利用勾股定理也可以的关于a、b的方程，联立解之即可求解．

解答：（1）证明：∵△=（m+5）²-12（m+2）（1分）
=m²+10m+25-12m-24=m²-2m+1=（m-1）²≥0，（1分）
∴此方程总有两个实数根．（1分）

（2）解：设Rt△ABC的两条直角边分别为a、b．
根据题意，得

a+b=m+5 ab=3(m+2) a2+b2=52

（1分）
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（m+5）²-6（m+2）=m²+4m+13=25．
∴m²+4m-12=0．（1分）
解得m₁=2，m₂=-6（不符合题意，舍去）．（1分）
∴ab=12．（1分）
∴S_△ABC=

1

2

ab=6．（1分）

点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式解决第一问，然后利用根与系数的关系和勾股定理得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可解决问题．