抛物线C1:y1=a1x2+b1x+c1中.函数值y1与自变量x之间的部分对应关系如下表:x--3-2-1134-y1--4-10-4-16-25-(1)设抛物线C1的顶点为P.则点P的坐标为,(2)现将抛物线C1沿x轴翻折.得到抛物线C2:y2=a2x2+b2x+c2.试求C2的解析式,(3)现将抛物线C2向下平移.设抛物线在平移过程中.顶点为点D.与x轴的两交点为点A.B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．抛物线C₁：y₁=a₁x²+b₁x+c₁中，函数值y₁与自变量x之间的部分对应关系如下表：

x	…	-3	-2	-1	1	3	4	…
y₁	…	-4	-1	0	-4	-16	-25	…

（1）设抛物线C₁的顶点为P，则点P的坐标为（-1，0）；
（2）现将抛物线C₁沿x轴翻折，得到抛物线C₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂，试求C₂的解析式；
（3）现将抛物线C₂向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为点D，与x轴的两交点为点A、B．
①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位？
②在最初的状态下，若向下平移m（m＞0）个单位时，对应的线段AB长为n，请直接写出m与n的等量关系．

分析（1）观察表格可知，抛物线上点（-3，-4）与点（1，-4）关于对称轴对称，推出抛物线的对称轴x=-1，可得顶点P坐标（-1，0）．
（2）根据题意求出抛物线C₂的顶点坐标以及a的值即可解决问题．
（3）①抛物线C₂向下平移过程中，对称轴x=-1，当AB之间的距离为6时，可知A（-4，0），B（2，0），此时抛物线C₂的解析式为y=（x+4）（x-2），即y=（x+1）²-9，所以抛物线C₂至少向下平移9个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位．
②抛物线C₂下平移m（m＞0）个单位后的解析式为y=（x+1）²-m，令y=0，解得x=-1±$\sqrt{m}$，可得A（-1-$\sqrt{m}$，0），B（-1+$\sqrt{m}$，0），推出n=AB=2$\sqrt{m}$，由此即可解决问题．

解答解：（1）观察表格可知，抛物线上点（-3，-4）与点（1，-4）关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴x=-1，
∴顶点P坐标（-1，0）．
故答案为（-1，0）．
（2）设抛物线C₁的解析式为y₁=a（x+1）²，把（-2，-1）代入得到a=-1，
∴抛物线C₁的解析式为y₁=-（x+1）²，
将抛物线C₁沿x轴翻折，得到抛物线C₂，根据对称性可知，抛物线C₂的顶点为（-1，0），a=1，
∴C₂的解析式为y₂=（x+1）²，

（3）①抛物线C₂向下平移过程中，对称轴x=-1，当AB之间的距离为6时，可知A（-4，0），B（2，0），
∴此时抛物线C₂的解析式为y=（x+4）（x-2），
即y=（x+1）²-9，
抛物线C₂至少向下平移9个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位．

②抛物线C₂下平移m（m＞0）个单位后的解析式为y=（x+1）²-m，
令y=0，解得x=-1±$\sqrt{m}$，
∴A（-1-$\sqrt{m}$，0），B（-1+$\sqrt{m}$，0），
∴n=AB=2$\sqrt{m}$，
∴m=$\frac{1}{4}$n²．

点评本题考查二次函数与x轴的交点、平移变换、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，熟练掌握二次函数的三种形式，属于中考常考题型．

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