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    （2012•黑河）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN
    （1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
    （2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．
    分析：（1）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得∠A+∠BCD=180°，再把△ABM绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点M到达点M′，根据旋转变换的性质，△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′，BM=BM′，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后证明M′、C、N三点共线，再利用“边角边”证明△BMN和△BM′N全等，然后根据全等三角形对应边相等即可得证；
    （2）在∠CBN内部作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′，然后证明∠C=∠BAM，再利用“角边角”证明△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′，BM=BM′，再证明∠MBN=∠M′BN，利用“边角边”证明△MBN和△M′BN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=M′N，从而得到MN=CN-AM．
    解答：解：（1）MN=AM+CN．
    理由如下：
    如图，∵BC∥AD，AB=BC=CD，
    ∴梯形ABCD是等腰梯形，
    ∴∠A+∠BCD=180°，
    把△ABM绕点B顺时针旋转90°到△CBM′，则△ABM≌△CBM′，
    ∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，
    ∴∠BCM′+∠BCD=180°，
    ∴点M′、C、N三点共线，
    ∵∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，
    ∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，
    ∴∠MBN=∠M′BN，
    在△BMN和△BM′N中，
    ∵
    BM=BM′
    ∠MBN=∠M′BN
    BN=BN
    ，
    ∴△BMN≌△BM′N（SAS），
    ∴MN=M′N，
    又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，
    ∴MN=AM+CN；


    （2）MN=CN-AM．
    理由如下：如图，作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′，
    ∵∠ABC+∠ADC=180°，
    ∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°，
    又∵∠BAD+∠BAM=180°，
    ∴∠C=∠BAM，
    在△ABM和△CBM′中，
    ∠CBM′=∠ABM
    AB=BC
    ∠C=∠BAM
    ，
    ∴△ABM≌△CBM′（ASA），
    ∴AM=CM′，BM=BM′，
    ∵∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，
    ∴∠M′BN=∠ABC-（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC-（∠ABN+∠ABM）=∠ABC-∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，
    ∴∠MBN=∠M′BN，
    在△MBN和△M′BN中，
    ∵
    BM=BM′
    ∠MBN=∠M′BN
    BN=BN
    ，
    ∴△MBN≌△M′BN（SAS），
    ∴MN=M′N，
    ∵M′N=CN-CM′=CN-AM，
    ∴MN=CN-AM．
    点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的两底角互补，利用旋转变换作辅助线，构造出全等三角形，把MN、AM、CN通过等量转化到两个全等三角形的对应边是解题的关键，本题灵活性较强，对同学们的能力要求较高．
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    （-21006，-21006）
    （-21006，-21006）
    ．

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    289
    8
    289
    8
    ．

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    此题答案不唯一：如AB=DC或∠ACB=∠DBC
    此题答案不唯一：如AB=DC或∠ACB=∠DBC
    ．（填一个即可）

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    （1）求抛物线的解析式．
    （2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-
    b
    2a
    ．

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    （3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

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