Question

【题目】菱形ABCD中，∠ABC=30°，AC⊥BD，点E在对角线BD上，∠AED=45°，P是菱形上一点，若△AEP是以AE为直角边为直角三角形，则tan∠APE的值为________．

Answer 1

【答案】1或或

【解析】

本题以菱形为题目背景，综合考查菱形的性质，并以动点问题丰富题干，考查分类讨论方式，结合题干信息特殊角度，可通过做辅助线构造特殊直角三角形以满足求解三角函数正切值的前提，继而通过图形性质求解边长比例．

∵菱形ABCD，∠ABC=30°，AC⊥BD

∴∠BAC=75°

连接CE，并延长CE交AB于点P1，如下图所示

当∠AED=45°时，∠BAE=30°，△AEC与△AEP1为直角三角形

在△AEP1中，tan∠AP1E=tan60°=

在△AEC（即△AEP2，此时点P2与点C重合）中，tan∠AP2E=tan45°=1

在△AEP3中，∠EAP3=90°，此时CP1∥AP3

设OA=，那么EC=AE=，EP1=

所以AP3=CP1=+，tan∠AP3E==÷(+)=．

综上，tan∠APE的值为1或或．