(1)一个正整数如果能表示为若干个正整数平方的算术平均值.就称这个正整数为“好整数 .如4=$\frac{{2}^{2}+{2}^{2}}{2}$.2007=$\frac{{2}^{2}+1{2}^{2}+2{2}^{2}+8{6}^{2}}{4}$.2008=$\frac{3{2}^{2}+5{0}^{2}+5{0}^{2}}{3}$.4.2007.2008都是“好整数 .� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

6．（1）一个正整数如果能表示为若干个正整数平方的算术平均值，就称这个正整数为“好整数”，如4=$\frac{{2}^{2}+{2}^{2}}{2}$，2007=$\frac{{2}^{2}+1{2}^{2}+2{2}^{2}+8{6}^{2}}{4}$，2008=$\frac{3{2}^{2}+5{0}^{2}+5{0}^{2}}{3}$，4，2007，2008都是“好整数”，记“好整数”的集合为M，正整数的集合为N⁺，求证：M=N⁺．
（2）记a=1²+2²+3²+…+2012²+2013²，求证：a可以写成2012个不同的正整数的平方和．

分析（1）首先根据“好整数”定义得出M⊆N⁺；另一方面，对每个n∈N⁺，都有n=$\frac{{n}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}+…+{1}^{2}}{n+1}$，得出n是“好整数”，即n∈M，即可得出结论；
（2）根据勾股定理得出1500²+2000²=2500²，因此从a中去掉1500²和2000²，添加2500²，即可得出结论．

解答（1）证明：因为每个“好整数”都是正整数，所以M⊆N⁺；
另一方面，对每个n∈N⁺，都有n=$\frac{{n}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}+…+{1}^{2}}{n+1}$，
所以n是“好整数”，即n∈M，
所以N⁺⊆M，
因此M=N⁺；
（2）证明：只需从1²至2013²中去掉两个，
根据勾股定理，换上一个大于2013²的数，
∵2000²=4²×500²，3²+4²=5²，
∴3²×500²+4²×500²=5²×500²，
即1500²+2000²=2500²，
因此从a中去掉1500²和2000²，添加2500²，
即将a写成了2012个不同的正整数的平方和．

点评本题考查了新定义“好整数”以及勾股定理的运用；熟练掌握新定义和勾股定理是解决问题的关键．

练习册系列答案

初三中考总复习系列答案

高分攻略系列答案

小学升初中重点学校考前突破密卷系列答案

阅读计划初中课外现代文拓展阅读系列答案

伴你学习新课程单元过关练习系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

16．已知关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0
（1）试判断上述方程根的情况．
（2）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根，BC的长为5．
①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
②当k为何值时，△ABC是等腰三角形？请求出此时△ABC的周长．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

17．一位“粗心”的同学在做加减运算时，将“-100”错写成“+100”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（　　）

A．

少100

B．

少200

C．

多100

D．

多200

查看答案和解析>>