Question

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA．

（1）写出A、C两点的坐标；
（2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；
（3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在直线解析式y=2x+2中，令y=0，得x=﹣1；x=0，得y=2，
∴A（﹣1，0），C（0，2）。
（2）当0＜m＜1时，依题意画出图形，如图1，

∵PE=CE，∴直线l是线段PC的垂直平分线。
∴MC=MP。
又C（0，2），M（0，m），∴P（0，2m﹣2）。
设直线l与y=2x+2交于点D，
令y=m，则x=，∴D（，m）。
设直线DP的解析式为y=kx+b，则有
，解得：。
∴直线DP的解析式为：y=﹣2x+2m﹣2。
令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）。
已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ，
∴，即，
整理得：。
解得：m=（＞1，不合题意，舍去）或m=。
∴m=。
（3）当1＜m＜2时，假设存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE，
依题意画出图形，如图2，

由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2，
由勾股定理得：。
∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0），
∴AQ=m，AB=a+1。
∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=。
∵直线l∥x轴，∴△CDE∽△CAB。
∴。
又∵CD•AQ=PQ•DE，∴。
∴，即，解得：。
∵1＜m＜2，∴当0＜a≤1时，m≥2，m不存在；当a＞1时，。
∴当1＜m＜2时，若a＞1，则存在实数，使CD•AQ=PQ•DE；若0＜a≤1，则m不存在。

试题分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解；
（2）如图1所示，解题关键是求出点P、点Q的坐标，然后利用PA=2PQ，列方程求解。
（3）如图2所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为：，据此列方程求出m的值。