Question

如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，且CE=2BE．连接BD、DE、AE，且AE交BD于F，OG为△BDE的中位线．下列结论：①OG⊥CD；②AB=5OG；③；④BF=OF；⑤，其中正确结论的个数是

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   5

Answer 1

B
分析：①由正方形的性质与OG为△BDE的中位线，即可证得OG⊥CD；
②由OG为△BDE的中位线的性质与CE=2BE，可求得AB=6OG；
③由相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高等底三角形的面积相等，即可求得；
④由相似三角形的对应边成比例，易求得BF=OF；
⑤首先过点B作BH⊥AE，首先设BH=x，由相似三角形的性质与勾股定理，可求得BF与FH的长，继而求得答案．
解答：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
即BC⊥CD，
∵OG为△BDE的中位线，
∴OG∥BC，
∴OG⊥CD；
故正确；
②∵OG为△BDE的中位线，
∴BE=2OG，
∵CE=2BE，
∴CE=40G，
∴BC=BE+CE=6OG，
故错误；
③∵OG∥BC，BE=2OG，
∴△ODG∽△BDE，
∴，
∵S_△ABE=S_△BDE，
∴；
故错误；
④∵CE=2BE，
∴BE：BC=BE：AD=1：3，
∵BC∥AD，
∴BF：DF=BE：AD=1：3，
∴BF=BD，
∵OB=OD=BD，
∴BF=OF=BD；
故正确；
⑤过点B作BH⊥AE，
∵∠AHB=∠ABE=90°，∠BAH=∠EAB，
∴△BAH∽△EAB，
∴AH：AB=BH：BE，
∴AH：BH=AB：BE=3，
∵设BH=x，则AH=3x，
在Rt△ABH中，AB==x，
∴BD=AB=2x，
∴BF=BD=x，
在Rt△BFH中，FH==x，
∴cos∠BFE==．
故正确．
故选B．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理以及三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．