Question

如图，抛物线y=x²-2与直线y=x相交于点A、B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当x满足什么条件时，一次函数的值大于二次函数的值；
（3）直线l垂直于x轴，与抛物线交于C，与直线AB交于点D，直线l在A、B两点之间移动，求线段CD的最大值；
（4）点P是直线AB上一动点，是否存以P，A，M为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）联立直线AB和抛物线的解析式即可求出A、B的坐标．
（2）根据（1）得出的A、B的坐标（此时两函数值相等），以及两函数的图象即可得出x的取值范围．（或者令直线的表达式大于抛物线的表达式，可得出一个关于x的不等式方程，解方程后即可得出x的取值范围．）
（3）线段DC表示的是一次函数的函数值与抛物线的函数值之间的差的绝对值，据此可得出一个关于DC的长和D点横坐标（或C点横坐标）的函数关系式，根据函数的性质即可求出DC的最大值．
（4）根据A（-1，1），M（0，-2）可得出三角形MOA是个等腰直角三角形，因此∠MAO=90°，本题可分四种情况讨论：
当P在线段AB上时，
①当∠APM=∠ABM时，△BAM∽△PAM，此时P，B重合，P（2，2）．
②当∠AMP=∠ABM时，△APM∽△AMB，此时

AM

AB

=

AP

AM

，据此可求出AP的长，即可求出OP的值，据此可得出P点坐标．
当P在BA的延长线上时，也分两种情况，解法同①②．
因此本题共有4个符合条件的P点．

解答：解：（1）由

y=x2-2 y=x

．
得：

x=-1 y=-1

，

x=2 y=2

，
所以A（-1，-1），B（2，2）；

（2）当-1＜x＜2时，一次函数的值大于二次函数的值；

（3）由条件可设点C（x，x²-2），点D（x，x），
那么CD=x-（x²-2）=-（x-

1

2

）²+

9

4

，且-1＜x＜2；
所以当x=

1

2

时，CD最大=

9

4

．
因x=

1

2

在-1＜x＜2范围内．
所以线段CD的最大值是

9

4

．

（4）P（-4，-4）、P（2，2）、P（-

2

3

，-

2

3

）或P（-

4

3

，-

4

3

）．

点评：本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题．能力要求较高，要注意（4）题中，P点是在直线AB上运动，而不是线段AB，因此要把所有的情况都考虑到，不要漏解．