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如图已知直线L:y=
34
x+3,它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点.
(1)求点A、点B的坐标.
(2)设F为x轴上一动点,用尺规作图作出⊙P,使⊙P经过点B且与x轴相切于点F(不写作法,保留作图痕迹).
(3)设(2)中所作的⊙P的圆心坐标为P(x,y),求y关于x的函数关系式.
(4)是否存在这样的⊙P,既与x轴相切又与直线L相切于点B?若存在,求出圆精英家教网心P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)令x=0以及y=0代入直线解析式可求出A,B的坐标;
(2)做PD⊥y轴于D,根据勾股定理得出PB2=PD2+BD2,BP2=PD2+BD2.得出y与x的关系式即可;
(3)依题意可得AB2=OA2+OB2=AF2=52,求出关于x的值代入解析式,求出y值即可,求出点P的坐标.
解答:精英家教网解:(1)令y=0得x=-4,令x=0得,y=3,
∴A(-4,0),B(0,3);

(2)如图:

(3)过点P作PD⊥y轴于D,则PD=|x|,BD=|3-y|,PB=PF=y,
∵△BDP为直角三角形,
∴BP2=PD2+BD2
即|y|2=|x|2+|3-y|2
y2=x2+(3-y)2
∴y与x的函数关系为y=
1
6
x2+
3
2


(4)存在.
解:∵⊙P与x轴相切于点F,且与直线l相切于点B,
∴AB=AF,
∵AB2=OA2+OB2=52
∴AF2=52
∵AF=|x+4|,
∴(x+4)2=52
∴x=1或x=-9,
把x=1或x=-9代入y=
1
6
x2+
3
2

得y=
5
3
或y=15,
∴点P的坐标为(1,
5
3
)或(-9,15).
点评:本题考查的是一次函数的图形与应用的有关知识以及考生作图能力,难度中等.
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x
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140
140
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