Question

20．已知抛物线y=-2x²-4x+6
（1）求抛物线与坐标轴交点的坐标．
（2）抛物线上是否存在点P，使点P到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0，y=0即可求出抛物线与坐标轴的交点坐标．
（2）点P到两坐标轴的距离相等，则点P在直线y=x或y=-x上，解方程组即可解决问题．

解答 解：（1）令y=0得到-2x²-4x+6=0，
∴x²+2x-3=0，
∴x=-3或1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0）或（1，0）．
令x=0，得到y=6，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）．

（2）存在．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2{x}^{2}-4x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-5+\sqrt{73}}{4}}\\{y=\frac{-5+\sqrt{73}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-5-\sqrt{73}}{4}}\\{y=\frac{-5-\sqrt{73}}{4}}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-2{x}^{2}-4x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-3+\sqrt{55}}{4}}\\{y=\frac{-3+\sqrt{55}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-3-\sqrt{55}}{4}}\\{y=\frac{-3-\sqrt{55}}{4}}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（$\frac{-5+\sqrt{73}}{4}$，$\frac{-5+\sqrt{73}}{4}$）或（$\frac{-5-\sqrt{73}}{4}$，$\frac{-5-\sqrt{73}}{4}$）或（$\frac{-3+\sqrt{55}}{4}$，$\frac{-3+\sqrt{55}}{4}$）或（$\frac{-3-\sqrt{55}}{4}$，$\frac{-3-\sqrt{55}}{4}$）．

点评 本题考查抛物线与坐标轴的解得，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会转化的思想思考问题，把问题转化为解方程组，属于中考常考题型．