已知等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中.AB=BC.CD=DE.∠ABC=90°.∠CDE=90°.CD＞BC.取线段AE的中点M.连结BM.DM.BD．(1)如图1.当BC⊥CE时.连接AE.试猜想BM与MD的数量关系和位置关系.请直接写出答案,(2)如图2.当点A.C.E三点在同一条直线上时.其他条件不变.试探究BM与MD的数量关系和位置关系.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．已知等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，AB=BC，CD=DE，∠ABC=90°，∠CDE=90°，CD＞BC，取线段AE的中点M，连结BM、DM、BD．
（1）如图1，当BC⊥CE时，连接AE，试猜想BM与MD的数量关系和位置关系，请直接写出答案；
（2）如图2，当点A、C、E三点在同一条直线上时，其他条件不变，试探究BM与MD的数量关系和位置关系，请说明理由．

分析（1）如图1，过点E作EF∥AB交BM的延长线于一点F，连接DF，由平行线的性质得到∠1=∠MEF，∠ABM=∠EFM，通过证明△ABM≌△EFM，得到BM=MF，AB=EF，于是证得△BCD≌△FED，得到BD=DF，∠5=∠6，推出∠BDF=∠CDE=90°，因为BM=MF，得到△BDM是等腰直角三角形；
（2）如图2，过点E作EF∥AB交BM的延长线于一点F，连接DF，同理易证：△ABM≌△EFM得到AB=EF，BM=MF，∠A=∠MEF=45°，由于∠ACB=∠DCE=∠BCA=∠DEM=45°，得到∠BCD=∠DEF=90°，证得△BCD≌△FED，得到∠BDC=∠EDF，BD=DF，∠BDF=∠CDE=90°，推出△BDM是等腰直角三角形．

解答证明：（1）如图1，过点E作EF∥AB交BM的延长线于一点F，连接DF，
∴∠1=∠MEF，∠ABM=∠EFM，
在△ABM与△EFM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠MEF}\\{ABM=∠EFM}\\{AM=EM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△EFM，
∴BM=MF，AB=EF，
∵AB=BC，
∴BC=EF，
过C作CN⊥AE于N，
∵∠ABC=∠CDE=90°，
易得；∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠DEF=∠4+∠MEF=∠2+∠3=∠BCD，
在△BCD与△FED中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=DE}\\{∠BCD=∠DEF}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△FED，
∴BD=DF，∠5=∠6，
∴∠BDF=∠CDE=90°，
∵BM=MF，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴BM=DM，BM⊥DM；

（2）如图2，过点E作EF∥AB交BM的延长线于一点F，连接DF，
同理易证：△ABM≌△EFM，
∴AB=EF，BM=MF，∠A=∠MEF=45°，
∵∠ACB=∠DCE=∠BCA=∠DEM=45°，
∴∠BCD=∠DEF=90°，
在△BCD与△FED中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=EF}\\{∠BCD=∠FED}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△FED，
∴∠BDC=∠EDF，BD=DF，
∴∠BDF=∠CDE=90°，
∵BM=MF，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴BM=DM，BM⊥DM．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

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（1）则△ABC的形状为直角三角形；
（2）在此抛物线上一动点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是梯形，则P点的坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-9）．

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5．

如图，△ABC中，BE、CD是AC、AB边上的中线，且BE、CD交于点O，则S_△ODE：S_{四边形DBCE}=（　　）

A．

1：3

B．

1：9

C．

2：3

D．

1：4

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12．

如图，?ABCD的面积为12，E为BC中点，DE、AC交于F点，△EFC的面积为1．

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（1）求该抛物线C₁的解析式；
（2）如图1，D是OC的中点，M是抛物线上一点，连结DM交线段BC于E点，若四边形DOBE恰好存在一个内切圆，求点M的坐标；
（3）如图2，将原抛物线C₁绕着某点旋转180°，得到的新抛物线C₂的顶点为坐标原点，点F（0，1），点Q是y轴负半轴上一点，过Q点的直线PQ与抛物线C₂在第二象限有唯一公共点P，过P分别作PG⊥PQ交y轴与G，PT∥y轴，求证：∠TPG=∠FPG．

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9．

如图，在平面直角坐标系中放置一顶点为A，B，O的直角三角形，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°得到△A₁B₁O．抛物线y=-x²+x+2经过A，B，B₁三点．
（1）求直线A₁B₁的解析式；
（2）设点C是在抛物线上第一象限内的一点，△COB₁的面积是△ABO面积的2倍，求C点坐标；
（3）线段AB上是否存在一点P，使以点P，A₁，B为顶点的三角形与△ABO相似？若存在，请求出$\frac{{A}_{1}P}{OA}$的值；若不存在，请说明理由．

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6．

在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$），（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），…，都是和谐点．
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（3）直线l：y=kx+2经过和谐点P，与x轴交于点D，与反比例函数G：y=$\frac{n}{x}$的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为1，且DM+DN＜3$\sqrt{2}$，请直接写出n的取值范围．

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7．

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