如果我们定义:“到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的开心点。”那么:
(1)如图1,观察并思考,△ABC的开心点有 个
(2)如图2,CD为等边三角形ABC的高,开心点P在高CD上,且PD=,则∠APB的度数为
(3)已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,开心点P在AC边上,试探究PA的长。
(1)无数;(2)90°;(3)2或.
【解析】
试题分析:(1)根据线段垂直平分线的性质可知,△ABC的开心点有无数个;(2)连接PA、PB,根据开心点的定义,分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系,然后判断出只有情况③是合适的,再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°,然后即可求出∠APB的度数;(3)先根据勾股定理求出AC的长度,根据开心点的定义,分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB三种情况,根据三角形的性质计算即可得解.
试题解析:(1)无数.
(2)①若PB=PC,连接PB,则∠PCB=∠PBC,
∵CD为等边三角形的高,∴AD=BD,∠PCB=30°.
∴∠PBD=∠PBC=30°,∴PD=DB=AB.与已知PD=AB矛盾,∴PB≠PC.
②若PA=PC,连接PA,同理可得PA≠PC.
③若PA=PB,由PD=AB,得PD=AD =BD,∴∠APD=∠BPD=45°. ∴∠APB=90°.
(3)∵BC=5,AB=3,∴AC=.
①若PB=PC,设PA=,则,∴,即PA=.
②若PA=PC,则PA=2.
③若PA=PB,由图知,在Rt△PAB中,不可能.
∴PA=2或.
考点:1.新定义;2.线段垂直平分线的性质;3.等腰(边)三角形的性质;4.勾股定理;5.分类思想的应用.
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如图,点A在射线OP上,OA等于2cm.我们定义如下两种操作:
操作一 旋转操作,记为X操作:
OA绕点O按逆时针方向旋转到OB,那么点B的位置可以用(2,)表示;OB绕点O再按逆时针方向旋转到OC,那么点C的位置可以用(2,)表示.
操作二 线段加倍操作,记为Y操作:
如图,如果延长OA到点,使=2,那么点的位置可以用(4,)表示;如果延长OB到点,使=2,那么点的位置可以用(4,)表示.
(1)现操作如下:
第一次对点A进行X操作,得到第一个点,其位置可以表示为( , );
第二次对点进行Y操作,得到第二个点,其位置可以表示为( , );
第三次对点进行X操作,得到第三个点,其位置可以表示为( , );
第四次对点进行Y操作,得到第四个点,其位置可以表示为( , );
……,如此依次进行操作X、Y、X、Y、,可得到若干点.
(2)按如上操作,若经过t次操作后得到A2010点,其位置表示为(p,q),则t、p、q的值分别为多少?
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