Question

18．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，BC上，且AD=BE，BD=AC．
（1）如图1，连DE，求∠BDE的度数；
（2）如图2，过E作EF⊥AB于F，求证：∠FED=∠CED；
（3）在（2）的条件下，若BF=2，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和SAS可证△BDE≌△ACD，再根据等腰直角三角形的性质即可得到∠BDE的度数；
（2）先由EF⊥AB和∠BDE=22.5°，求出∠BED，再由（1）结论推导出∠BCD=∠DEC=67.5°即可．
（3）由（1）知CD=DE，根据等腰三角形的性质和角的和差关系可得∠CDE=45°，过D作DM⊥CE于M，根据角平分线的性质以及等量关系即可得到CE的长

解答 解：（2）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵AC=BC，BD=AC，
∴BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=$\frac{180°-∠B}{2}$=67.5°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-67.5°=22.5°，
在△ADC和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE}\\{∠A=∠B}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BED，
∴∠BDE=∠ACD=22.5°，
（2）由（1）有∠BDE=22.5°，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=∠DFE=90°，
∴∠DEF=90°-∠BDE=67.5°，
由（1）有，△ADC≌△BED，
∴DC=DE，
∴∠DEC=∠BCD=67.5°，
∴∠DEF=∠DEC，
即：∠FED=∠CED；
（3）如图2，

由（1）知CD=DE，
∴∠DCE=∠DEC=67.5°，
∴∠CDE=45°，
过D作DM⊥CE于M，
∴CM=ME=$\frac{1}{2}$CE，∠CDM=∠EDM=∠BDE=22.5°，
∵EM⊥DM，EF⊥DB，
∴EF=ME，
∵∠BFE=90°，∠B=45°，
∴∠BEF=∠B=45°，
∴EF=BF，
∴CE=2ME=2EF=2BF=4．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解本题的关键是△ADC≌△BED，解答时添加合适的辅助线是难点．