Question

18．已知，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB=AD，连接BD（如图a），点P沿梯形的边，从点A→B→C→D→A移动，设点P移动的距离为x，BP=y．
（1）求证：∠A=2∠CBD；
（2）当点P从点A移动到点C时，y与x的函数关系如图（b）中的折线MNQ所示，试求CD的长．
（3）在（2）的情况下，点P从A→B→C→D→A移动的过程中，△BDP是否可能为等腰三角形？若能，请求出所有能使△BDP为等腰三角形的x的取值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质得出∠ABD=∠CDB，∠A+∠ADC=180°，∠ABD+∠CBD=90°，∠ABD=∠ADB，得出∠A+2∠ABD=180°，2∠ABD+2∠CBD=180°，即可得出结论；
（2）作DE⊥AB于E，则DE=BC=3，CD=BE，由勾股定理求出AE=$\sqrt{A{B}^{2}-D{E}^{2}}$=4，得出CD=BE=AB-AE=1；
（3）分情况讨论：①点P在AB边上时；②点P在BC上时；③点P在AD上时；由等腰三角形的性质和勾股定理即可得出答案．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，BC⊥AB，AB=AD，
∴∠ABD=∠CDB，∠A+∠ADC=180°，∠ABD+∠CBD=90°，∠ABD=∠ADB，
∴∠A+2∠ABD=180°，2∠ABD+2∠CBD=180°，
∴∠A=2∠CBD；

（2）解：由图（b）得：AB=5，AB+BC=8，
∴BC=3，作DE⊥AB于E，如图所示：
则DE=BC=3，CD=BE，
∵AD=AB=5，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-D{E}^{2}}$=4，
∴CD=BE=AB-AE=1；
（3）解：可能；理由如下：
分情况讨论：
①点P在AB边上时，
当PD=PB时，P与A重合，x=0；
当DP=DB时，BP=2BE=2，
∴AP=3，
∴x=3；
当BP=BD=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$时，AP=5-$\sqrt{10}$，
即x=5-$\sqrt{10}$；
②点P在BC上时，存在PD=PB，
此时，x=5+$\frac{5}{3}$=$\frac{20}{3}$；
③点P在AD上时，
当BP=BD=$\sqrt{10}$时，x=5+3+1+2=10；
当DP=DB=$\sqrt{10}$时，x=5+3+1+$\sqrt{10}$=9+$\sqrt{10}$；
综上所述：△BDP可能为等腰三角形，能使△BDP为等腰三角形的x的取值为：0或3或5-$\sqrt{10}$或$\frac{20}{3}$或10或9+$\sqrt{10}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．