Question

4．【方法引领】如图1，点E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的动点，连接AE、AF和EF，∠EAF=45°．若BE=2，DF=3，求EF的长．
聪聪同学的思路是：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，证明△AEF≌△AE’F从而得到EF=E’F．请你帮助聪聪同学完成解题过程．
【灵活应用】如图3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D、E在边AB上，且∠DCE=45°．若AD=2，BE=3，求DE的长．
【拓展提升】如图4，△ABC中∠BAC=45°，AD⊥BC于点D．若CD=2，BD=3，请直接写出△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADE'，根据旋转的性质，判定△AEF≌△AE'F（SAS），得出EF=E'F，进而得到E'F=E'D+DF=BE+DF=5，即EF=5；
（2）将△ACD绕着点C逆时针旋转90°，得△BCF，连接EF，判定△DCE≌△FCE（SAS），得出DE=FE，最后在△BEF中，根据勾股定理求得EF的长，即可得出结论；
（3）将△ABD绕着点A逆时针旋转90°，得△AFQ，延长FQ，BC，交于点E，连接CQ，判定△BAC≌△QAC（SAS），得到BC=CQ=BD+CD=5，再设AD=x，在Rt△CQE中，运用勾股定理列出关于x的方程，求得x的值，最后根据△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×BC×AD，进行计算即可

解答 解：（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADE'，则
AE=AE'，∠BAE=∠DAE'，∠ADE'=90°=∠ADF，
∴E'，D，F在同一直线上，
∵正方形ABCD中，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°=∠DAE'+∠DAF=∠E'AF，
∴∠EAF=∠E'AF，
又∵AF=AF，
∴△AEF≌△AE'F（SAS），
∴EF=E'F，
∵E'F=E'D+DF=BE+DF=5，
∴EF=5；

  （2）如图3，将△ACD绕着点C逆时针旋转90°，得△BCF，连接EF，
∴CD=CF，BF=AD=2，∠DCF=90°，∠CBF=∠A=45°，
∵∠DCE=45°，∠ACB=90°，
∴∠FCE=45°，
在△DCE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CF}\\{∠DCE=∠FCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE=FE，
在△BEF中，∵∠EBC=45°，∠CBF=45°，
∴∠EBF=90°，
∴EF=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴DE=$\sqrt{13}$；

（3）△ABC的面积为15．
理由：如图4，将△ABD绕着点A逆时针旋转90°，得△AFQ，延长FQ，BC，交于点E，连接CQ，
由旋转可得，△ABD≌△AQF，
∴AB=AQ，∠BAD=∠FAQ，BD=QF=3，∠F=∠ADC=∠DAF=90°=∠E，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAD+∠DAC=45°，
∴∠DAC+∠FAQ=45°，
又∵∠DAF=90°，
∴∠CAQ=45°，
∴∠BAC=∠CAQ．
在△BAC和△QAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AQ}\\{∠BAC=∠CAQ}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△QAC（SAS），
∴BC=CQ=BD+CD=5，
设AD=x，则QE=x-3，CE=x-2．
在Rt△CQE中，CE²+QE²=CQ²
∴（x-2）²+（x-3）²=5²
解得：x₁=6，x₂=-1（舍去），
∴AD=6，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×5×6=15．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及正方形、等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行计算求解．解题时注意方程思想的运用．