Question

（1）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，FC∥AB，DF交AC于点E，DE=EF．求证：E是AC的中点．
（2）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．

Answer 1

分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADF=∠F，然后利用“角边角”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CE，从而得证；
（2）先求出四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出∠ADF=∠FAD，根据等角对等边可得AF=FD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．

解答：（1）证明：∵FC∥AB，
∴∠ADF=∠F，
在△ADE和△CEF中，

∠ADF=∠F DE=EF ∠AED=∠CEF

，
∴△ADE≌△CEF（ASA），
∴AE=CE，
即E是AC的中点；

（2）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，且∠EAD=∠ADF，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠ADF=∠FAD，
∴AF=FD，
∴四边形AEDF是菱形．

点评：本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，比较简单，主要涉及邻边相等的平行四边形是菱形，熟练掌握平行四边形与菱形的关系是解题的关键．