Question

1．如图，已知以抛物线的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与该抛物线交于A、B两点，其中点A在y轴上．
（1）该抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2）²；
（2）点（m，m-4）是否在该抛物线上？为什么？
（3）若C为线段AB的中点，过C点作CE⊥x轴于点E点，CE与抛物线交于点D．
①y轴上存在点F，使以F、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则点F的坐标是（0，5）或（0，-3）；
②二次函数的图象上是否存在点P，使得S_△POE=$\frac{1}{2}$S_△ABD？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出点A坐标，待定系数法求解可得其解析式；
（2）假设点（m，m-4）在该抛物线上，将其坐标代入抛物线解析式后可得关于m的方程，根据根的判别式判断方程的根的情况即可得知；
（3）①求出点B、C、D的坐标，可得CD的长，由AF∥CD可知要使该四边形为平行四边形，只需满足AF=CD即可，从而可得点F的坐标；
②设P（x，$\frac{1}{4}$x²-x+1），分别求出S_△POE、S_△ABD，根据S_△POE=$\frac{1}{2}$S_△ABD可得关于x的方程，解方程可得x的值．

解答 解：（1）当x=0时，y=1，得：A（0，1），
设抛物线解析式为：y=a（x-2）²，
将点A（0，1）代入，得：4a=1，解得：a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2）²；
故答案为：$\frac{1}{4}$（x-2）²．

（2）点（m，m-4）不在抛物线上，
假设点（m，m-4）在抛物线y=$\frac{1}{4}$（x-2）²上，
则有：m-4=$\frac{1}{4}$（m-2）²，
整理，得：m²-8m+20=0，
∵△=（-8）²-4×20=-16＜0，
∴此一元二次方程没有实数根，
∴点（m，m-4）一定不在抛物线y=$\frac{1}{4}$（x-2）²上．

（3）①联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-2）^{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=9}\end{array}\right.$，
∴点B坐标为（8，9），
∵C为线段AB的中点，
∴点C坐标为（4，5），
在y=$\frac{1}{4}$（x-2）²中，当x=4时，y=$\frac{1}{4}$×（4-2）²=1，
∴点E坐标为（4，1），
则CD=5-1=4，
∵点F在y轴上，
∴AF=CD，
∴点F的坐标为（0，5）或（0，-3），
故答案为：（0，5）或（0，-3）．

②二次函数的图象上存在点P，使得S_△POE=$\frac{1}{2}$S_△ABD，
由①知点A（0，1），点D（4，1），
∴AD∥x轴，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×（9-1）=16，
设P（x，$\frac{1}{4}$x²-x+1），
由题意，得：S_△POE=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{4}$x²-x+1）=$\frac{1}{2}$x²-2x+2，
∵S_△POE=$\frac{1}{2}$S_△ABD，
∴$\frac{1}{2}$x²-2x+2=8，
解得：x=6或x=-2，
当x=6时，y=$\frac{1}{4}$×（6-2）²=4，
当x=-2时，y=$\frac{1}{4}$×（-2-2）²=4，
∴点P的坐标为（6，4）或（-2，4）．

点评 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、平行四边形、图象面积计算等知识点．