Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G．

（1）求证：AG=CF；

（2）若BG=5，AC=6，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为16．

【解析】

（1）连接AD、DC，根据角平分线的性质和中垂线的性质得DG=DF，DA=DC，进而得Rt△DGA≌Rt△DFC，即可得到结论；

（2）先证Rt△BDG≌Rt△BDF，得BG=BF，结合AG=CF，进而即可得到答案．

（1）连接AD、DC．

∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，

∴DG=DF．

∵D在AC的中垂线上，

∴DA=DC．

在Rt△DGA与Rt△DFC中，

∵DG=DF，DA=DC，

∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）

∴AG=CF；

（2）由（1）知DG=DF．

又∵BD=BD，

∴Rt△BDG≌Rt△BDF，

∴BG=BF．

又∵AG=CF，

∴C△ABC=AB＋BC＋AC=BG－AG＋BF＋FC＋AC=2BG＋AC=2×5＋6=16．

答：△ABC的周长为16．