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【题目】如图,在直角坐标平面中,O为原点,点A的坐标为(20,0),点B在第一象限内,BO=10,sin∠BOA=

(1)在图中,求作△ABO的外接圆;(尺规作图,不写作法但需保留作图痕迹)
(2)求点B的坐标与cos∠BAO的值;
(3)若A,O位置不变,将点B沿 轴正半轴方向平移使得△ABO为等腰三角形,请直接写出平移距离.

【答案】
(1)

如图,

⊙C即为所求作的圆


(2)

B(8,6)

cos =


(3)

点B沿 轴向右平移2个单位或 个单位


【解析】(1)如图,分别作OB,OA的垂直平分线,得到它们的交点,再画圆,详细方法:
画OB的垂直平分线:分别以O,B为圆心,以大于OB的长度画弧,在OB的两侧相交于两点,连接它们,即是OB的垂直平分线;
画AB的垂直平分线:分别以A,B为圆心,以大于AB的长度画弧,在OB的两侧相交于两点,连接它们,即是AB的垂直平分线;
得到交点C,即是外接圆的圆心,以OC为半径画圆.

(2)如图1,过点B作BDOA于D,则在RtOBD中,sin∠BOA= , BO=10,
则BD=OB×sin∠BOA=10×=6,
则OD=.
则B(8,6).
在RtABD中,因为A(20,0),则OA=20,AD=OA-OD=20-8=12,AB=
则cos ∠ BAO=.

图1
(3)以OA为底时,如图2,OB=AB,则B(10,6),向x轴正方向平移了10-8=2;

图2
以OB为底边时,如图3,AB=OA=20,则AD=,
则OD=OA-AD或OA+AD,即OD=,
所以向x轴正半轴移动了18<0,不符合,合去,或

图3
以AB为底时,如图4,OB=OA=20,则OD=,
所以向x轴正半轴移动了.
综上,答案为:点B沿 轴向右平移2个单位或个单位

图4

【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识,掌握等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角),以及对三角形的外接圆与外心的理解,了解过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心.

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