Question

16．（1）如图1：已知射线OC在∠AOB内，∠AOC=40°，∠BOC=20°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，则∠MON=30度．
（2）如图2：已知射线OC在∠AOB内，∠AOB=x°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，求∠MON的度数．（用含x的代数式表示）
（3）已知两条不同射线OC、OP在∠AOB内，OM、ON分别是∠AOP、∠BOC的角平分线，∠AOB=x°，∠POC=y°，不写过程，直接写出∠MON=$\frac{x-y}{2}$或$\frac{x+y}{2}$度（用含x，y的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义得出∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=20°，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=10°，根据∠MON=∠MOC+∠NOC可得答案；
（2）由角平分线得出∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC、∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，根据∠MON=∠MOC+∠NOC可得答案；
（3）分∠AOC＞∠BOC和∠AOC＜∠BOC两种情况分类讨论，∠AOC＜∠BOC时，由∠AOB+∠POC=∠AOP+∠BOC=2（∠POM+∠NOC）=2（∠POC+∠MON）可得；∠AOC＞∠BOC时，∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=∠AOB-$\frac{1}{2}$（∠AOP+∠BOC）=∠AOB-$\frac{1}{2}$（∠AOB-∠POC）可得．

解答 解：（1）∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，且∠AOC=40°，∠BOC=20°，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=20°，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=10°，
则∠MON=∠MOC+∠NOC=20°+10°=30°，
故答案为：30；

（2）∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC、∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOC）=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$x°；

（3）如图1，

∵OM、ON分别是∠AOP、∠BOC的角平分线，
∴∠AOP=2∠POM、∠BOC=2∠NOC，
∵∠AOB+∠POC=∠AOP+∠BOC，
∴∠AOB+∠POC=2∠POM+2∠NOC，即∠AOB+∠POC=2（∠POM+∠NOC），
又∵∠POM+∠NOC=∠POC+∠MON，
∴∠AOB+∠POC=2（∠POC+∠MON），
即x+y=2（y+∠MON），
解得：∠MON=$\frac{x-y}{2}$；
如图2，

∵OM、ON分别是∠AOP、∠BOC的角平分线，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOP、∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOC，
则∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）
=∠AOB-$\frac{1}{2}$（∠AOP+∠BOC）
=∠AOB-$\frac{1}{2}$（∠AOB-∠POC）
=x-$\frac{1}{2}$（x-y）
=$\frac{x+y}{2}$，
综上，∠MON=$\frac{x-y}{2}$或$\frac{x+y}{2}$，
故答案为：$\frac{x-y}{2}$或$\frac{x+y}{2}$．

点评 本题主要考查角的计算及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角的和差计算和角平分线的定义．