Question

17．如图，二次函数y=x²-4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB上的一动线段，且CD=2，过点C、D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF．
（1）点A的坐标为（4，0），线段OB的长=5$\sqrt{2}$；
（2）设点C的横坐标为m
①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；
②连接AC、AD，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）根据y=x²-4x中，令y=0，则0=x²-4x，可求得A（4，0），解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-4x}\end{array}\right.$，可得B（5，5），进而得出OB的长；
（2）①根据C（m，m），F（m，m²-4m），可得CF=m-（m+$\sqrt{2}$），根据D（m+$\sqrt{2}$，m+$\sqrt{2}$），E（m+$\sqrt{2}$，（m+$\sqrt{2}$）²-4（m+$\sqrt{2}$）），可得DE=m+$\sqrt{2}$-[（m+$\sqrt{2}$）²-4（m+$\sqrt{2}$）]，最后根据当四边形CDEF是平行四边形时，CF=DE，求得m的值即可；
②先过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，得出AC=DG，再作点A关于直线OB的对称点A'，连接A'D，则A'D=AD，根据当A'，D，G三点共线时，A'D+DG=A'G最短，可得此时AC+AD最短，然后求得直线A'G的解析式为y=-$\frac{9-4\sqrt{2}}{7}$x+4，解方程组可得D（2+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$，2+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$），C（2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$），最后根据两点间距离公式，求得△ACD的周长的最小值．

解答 解：（1）∵y=x²-4x中，令y=0，则0=x²-4x，
解得x₁=0，x₂=4，
∴A（4，0），
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-4x}\end{array}\right.$，可得
$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴B（5，5），
∴OB=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
故答案为：（4，0），5$\sqrt{2}$；

（2）①∵点C的横坐标为m，且CF∥DE∥y轴，
∴C（m，m），F（m，m²-4m），
又∵CD=2，且CD是线段OB上的一动线段，
∴D（m+$\sqrt{2}$，m+$\sqrt{2}$），E（m+$\sqrt{2}$，（m+$\sqrt{2}$）²-4（m+$\sqrt{2}$）），
∴CF=m-（m+$\sqrt{2}$），DE=m+$\sqrt{2}$-[（m+$\sqrt{2}$）²-4（m+$\sqrt{2}$）]，
∵当四边形CDEF是平行四边形时，CF=DE，
∴m-（m+$\sqrt{2}$）=m+$\sqrt{2}$-[（m+$\sqrt{2}$）²-4（m+$\sqrt{2}$）]，
解得m=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$；

②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，
∴AC=DG，
作点A关于直线OB的对称点A'，连接A'D，则A'D=AD，
∴当A'，D，G三点共线时，A'D+DG=A'G最短，此时AC+AD最短，
∵A（4，0），AG=CD=2，
∴A'（0，4），G（4+$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
设直线A'G的解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{4=b}\\{\sqrt{2}=（4+\sqrt{2}）k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{9-4\sqrt{2}}{7}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线A'G的解析式为y=-$\frac{9-4\sqrt{2}}{7}$x+4，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{9-4\sqrt{2}}{7}x+4}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\{y=2+\frac{1}{2}\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴D（2+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$，2+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$），
∵CD=2，且CD是线段OB上的一动线段，
∴C（2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$），
∴点C的横坐标m=2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，
由A（4，0），C（2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$）可得，AC=$\sqrt{（4-2+\frac{1}{2}\sqrt{2}）^{2}+（0-2+\frac{1}{2}\sqrt{2}）^{2}}$=3，
由A（4，0），D（2+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$，2+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$）可得，AD=$\sqrt{（4-2-\frac{1}{2}\sqrt{2}）^{2}+（2+\frac{1}{2}\sqrt{2}）^{2}}$=3，
又∵CD=2，
∴△ACD的周长=CD+AC+AD=2+3+3=8，
故当m=2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$时，△ACD的周长最小，这个最小值为8．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的计算，两点间的距离公式，待定系数法求函数解析式以及平行四边形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据平行四边形的对边相等以及两点之间线段最短进行计算求解．解题时注意方程思想和数形结合思想的运用．