Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BE是弦，点D是弦BE上一点，连接OD并延长交⊙O于点C，连接BC，过点D作FD⊥OC交⊙O的切线EF于点F．

（1）求证：∠CBE＝∠F；

（2）若⊙O的半径是2，点D是OC中点，∠CBE＝15°，求线段EF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

(1)连接OE交DF于点H，由切线的性质得出∠F+∠EHF =90，由FD⊥OC得出∠DOH+∠DHO =90，依据对顶角的定义得出∠EHF＝∠DHO，从而求得∠F=∠DOH，依据∠CBE=∠DOH，从而即可得证；

(2)依据圆周角定理及其推论得出∠F=∠COE＝2∠CBE =30°，求出OD的值，利用锐角三角函数的定义求出OH的值，进一步求得HE的值，利用锐角三角函数的定义进一步求得EF的值．

（1）证明：连接OE交DF于点H，

∵EF是⊙O的切线，OE是⊙O的半径，

∴OE⊥EF．

∴∠F+∠EHF＝90°．

∵FD⊥OC，

∴∠DOH+∠DHO＝90°．

∵∠EHF＝∠DHO，

∴∠F＝∠DOH．

∵∠CBE＝∠DOH，

∴

（2）解：∵∠CBE＝15°，

∴∠F＝∠COE＝2∠CBE＝30°．

∵⊙O的半径是，点D是OC中点，

∴．

在Rt△ODH中，cos∠DOH＝，

∴OH＝2．

∴．

在Rt△FEH中，

∴