Question

如图，△ABC中，三条角平分线AE、BD、CF相交于点O，过O点作OG⊥BC垂足为G，
（1）猜想∠BOC与90°+∠BAC之间的数量关系，并说明理由；
（2）∠BOE与∠COG相等吗？为什么？

Answer 1

解：（1）∠BOC=90°+∠BAC；
理由：∵△ABC中，三条角平分线AE、BD、CF相交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠BAC）=90°+∠BAC；

（2）∠BOE=∠COG
理由：由（1）知∠AOB=90°+∠ACB，
∴∠BOE=180°-∠AOB=180°-（90°+∠ACB）=90°-∠ACB，
又∵OC平分∠ACB，OG⊥BC，
∴∠COG=90°-∠ACB，
∴∠BOE=∠COG．
分析：（1）由△ABC中，三条角平分线AE、BD、CF相交于点O，可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，继而可得∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB），则可证得结论；
（2）由（1）知∠AOB=90°+∠ACB，则可得∠BOE=90°-∠ACB，又由OC平分∠ACB，OG⊥BC，即可得∠COG=90°-∠ACB，则可证得∠BOE=∠COG．
点评：此题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．