Question

14．小明对自己上学路线的长度进行了10次测量，得到10个数据x₁、x₂、…、x₁₀．已知x₁+x₂+…+x₁₀=5432m，则当代数式（x-x₁）²+（x-x₂）²+…+（x-x₁₀）²取得最小值时，x的值为543.2m．

Answer 1

分析 设y=（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+…+（x-x₁₀）²，化为以x为自变量的二次函数的形式，根据二次函数的性质求出最小值．

解答 解：设y=（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+…+（x-x₁₀）²
=x²-2xx₁+x₁²+x²-2xx₂+x₂²+x²-2xx₃+x₃²+…+x²-2xx₁₀+x₁₀²
=10x²-2（x₁+x₂+x₃+…+x₁₀）x+（x₁²+x₂²+x₃²+…+x₁₀²），
=10x²-2×5432x+（x₁²+x₂²+x₃²+…+x₂₀²），
x=$\frac{10864}{20}$=543.2m时，代数式（x-x₁）²+（x-x₂）²+…+（x-x₁₀）²取得最小值，
故答案为：543.2．

点评 本题考查的是方差的概念和二次函数的性质，掌握二次函数的最值的求法是解题的关键．