分析 (1)要寻找3条线段的数量关系,往往采用作辅助线截长或补短的方法,然后找到其中的关系,本题证明三角形全等是关键;
(2)由(1)可知DE=FG,∴△DGF的底与高可以关键勾股定理用含x的式子表示出来,所以解析式就可以表示出来;
(3)要解决本题,关键题意作出辅助线是关键,利用三角形的面积公式建立两个不同的式子是问题解决.
解答 解:(1)BF+AG=AE.
证明:如图1,过点F作FH⊥DA,垂足为H,
∵在正方形ABCD中,∠DAE=∠B=90°,
∴四边形ABFH是矩形,
∴FH=AB=DA,
∵DE⊥FG,
∴∠G=90°-∠ADE=∠DEA,
又∴∠DAE=∠FHG=90°,
∴△FHG≌△DAE,
∴GH=AE,即HA+AG=AE,
∵BF=HA,
∴BF+AG=AE.
(2)∵△FHG≌△DAE,
∴FG=DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{4+{x}^{2}}$,
∵S△DGF=$\frac{1}{2}$FG•DE,
∴y=$\frac{4+{x}^{2}}{2}$,
∴解析式为:y=$\frac{4+{x}^{2}}{2}$,函数自变量的取值范围为0<x<2;
(3)如图2,连接CE,作CP⊥DE于P,S△CDE=$\frac{1}{2}$×CD•AD=2,
∴S△CDE=$\frac{1}{2}$×DE•CP=2,
∵DE=FG=$\frac{5}{2}$,
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{2}$•CP=2,
∴CP=$\frac{8}{5}$,
∴点C到直线DE的距离为$\frac{8}{5}$.
点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质,根据已知得出∠G=∠DEA,进而得出△FHG≌△DAE是解决问题的关键.作辅助线是难点.
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