精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
19.如图,在正方形ABCD中,点E在边AB上(点E与点A,B不重合).过点E作FG⊥DE,FG与边BC相交于点F,与边AD的延长线相交于点G.
(1)请猜想BF,AG,AE的长度之间具有怎样的等量关系,并证明你所得到的结论.
(2)连接DF,如果正方形的边长为2,设AE=x,△DFG的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出此函数自变量的取值范围.
(3)如果正方形的边长为2,FG的长为$\frac{5}{2}$,求点C到直线DE的距离.

分析 (1)要寻找3条线段的数量关系,往往采用作辅助线截长或补短的方法,然后找到其中的关系,本题证明三角形全等是关键;
(2)由(1)可知DE=FG,∴△DGF的底与高可以关键勾股定理用含x的式子表示出来,所以解析式就可以表示出来;
(3)要解决本题,关键题意作出辅助线是关键,利用三角形的面积公式建立两个不同的式子是问题解决.

解答 解:(1)BF+AG=AE.
证明:如图1,过点F作FH⊥DA,垂足为H,
∵在正方形ABCD中,∠DAE=∠B=90°,
∴四边形ABFH是矩形,
∴FH=AB=DA,
∵DE⊥FG,
∴∠G=90°-∠ADE=∠DEA,
又∴∠DAE=∠FHG=90°,
∴△FHG≌△DAE,
∴GH=AE,即HA+AG=AE,
∵BF=HA,
∴BF+AG=AE.
(2)∵△FHG≌△DAE,
∴FG=DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{4+{x}^{2}}$,
∵S△DGF=$\frac{1}{2}$FG•DE,
∴y=$\frac{4+{x}^{2}}{2}$,
∴解析式为:y=$\frac{4+{x}^{2}}{2}$,函数自变量的取值范围为0<x<2;
(3)如图2,连接CE,作CP⊥DE于P,S△CDE=$\frac{1}{2}$×CD•AD=2,
∴S△CDE=$\frac{1}{2}$×DE•CP=2,
∵DE=FG=$\frac{5}{2}$,
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{2}$•CP=2,
∴CP=$\frac{8}{5}$,
∴点C到直线DE的距离为$\frac{8}{5}$.

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质,根据已知得出∠G=∠DEA,进而得出△FHG≌△DAE是解决问题的关键.作辅助线是难点.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

9.三角形的两边长分别是3和6,第三边x为最大边,则x的范围为6<x<9.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

10.(1)x取何值时,代数式3x+2的值不大于代数式4x+3的值.
(2)a取什么值时,解方程3x-2=a得到的x的值是负数.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

7.自2016年1月21日开建的印尼雅万高铁是中国和印尼合作的重大标志性项目,这条高铁的总长为152千米.其中“152千米”用科学记数法可以表示为1.52×105米.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

14.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,作AE∥DC交BC于E.△ABE的周长是25cm,四边形ABCD的周长是37cm,那么AD=6cm.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

4.如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.
(1)求证:AB•AF=CB•CD
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射线DE上的动点.设DP=xcm(x>0),四边形BCDP的面积为ycm2
①求y关于x的函数关系式;
②当x为何值时,△PBC的周长最小,并求出此时y的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

11.函数y=$\frac{\sqrt{3-x}}{x+4}$ 中自变量x的取值范围是x≤3且x≠-4.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

8.若$\sqrt{a-9}$+(b-3)2=0,则$\frac{a}{b}$的平方根是$±\sqrt{3}$.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

9.如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3$\sqrt{3}$,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为3.

查看答案和解析>>

同步练习册答案