Question

在平行四边形ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，M、N为垂足，若AB=13，BM=5，MC=9，则MN的长度为

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：几何图形问题

分析：根据题意，在Rt△ABM中利用勾股定理算出AM=12，根据三角函数定义得cosB=cosD，由平行四边形的性质，最后在△AMN中利用余弦定理加以计算，即可得到MN的长．

解答：解：∵AM⊥BC，AB=13，BM=5，
∴Rt△ABM中，AM=

AB2-BM2

=12，
sinB=

AM

AB

=

12

13

，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D=∠B，
∵AN⊥CD，AD=BC=BM+MC=14，
∴在Rt△ADN中，sinD=

AN

AD

=

12

13

，
∴AN=

168

13

，
∵△AMN中，AM=12，∠B+∠BAD=180°，∠B+∠BAM=90°，
∴∠DAN+∠MAN=180°，
∴∠MAN=∠BAD-∠BAM-∠DAN=∠B，
∴由余弦定理，得
MN²=AM²+AN²-2•AM•AN•cos∠MAN=144+

28224

169

-2×12×

168

13

×

5

13

=

32400

169

，
∴MN=

180

13

．
故答案为：

180

13

．

点评：此题主要考查了勾股定理以及余弦定理等知识，得出MN²=AM²+AN²-2•AM•AN•cos∠MAN是解题关键．