Question

关于函数y=

3

a

x²+（3-

2

a

）x+1-

1

a

（a≠0），给出下列结论：
①当a=2时，该函数的顶点坐标为（-

2

3

，-

1

6

）
②当a≠0时，该函数图象经过同一点；
③当a＜0时，函数图象截x轴所得线段长度大于

4

3

；
④当a＞0时，函数在x＞

1

3

时，y随x的增大而增大．
其中正确的结论有（　　）

• A、①②④
• B、②③④
• C、①③
• D、①②③④

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：①把a=2代入y=

3

a

x²+（3-

2

a

）x+1-

1

a

求得解析式，利用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质解答即可；
②当a≠0时，把x=1代入解析式，求得y=4，由此判断函数一定经过点（1，4）；
③令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
④首先求得对称轴，然后利用二次函数的性质解答即可．

解答：解：①当a=2时，函数解析式为y=

3

2

x²+2x+

1

2

，
∵y=

3

2

x²+2x+

1

2

=

3

2

（x²+

4

3

x+

4

9

）-

2

3

+

1

2

=

3

2

（x+

2

3

）²-

1

6

，
∴顶点坐标是（-

2

3

，-

1

6

），正确；
②当a≠0时，把x=1代入解析式，得y=4，则函数一定经过点（1，4），正确；
③y=

3

a

x²+（3-

2

a

）x+1-

1

a

（a≠0）与x轴两交点坐标为（-

1

3

，0），（a-1，0），
当a＜0时，-

1

3

-（a-1）=

2

3

-a＞

2

3

，错误；
④当a＞0时，函数y=

3

a

x²+（3-

2

a

）x+1-

1

a

，开口向上，对称轴x=

2 a -3

3 a

=

2-3a

6

=

1

3

-

1

2

a＜

1

3

，
∴函数在x＞

1

3

时，y随x的增大而增大，正确．
故选A．

点评：此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征，难度适中．