Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，过⊙O上一点C作⊙O的切线交DF于点E，AC平分∠FAB

（1）求证：CE⊥DF；（2）若AE＝2，CE＝4，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为5．

【解析】

（1）证明：连接BC，证得∠B+∠CAB＝90°，∠ACE+∠CAB＝90°，则∠CAE＝∠CAB，即可证得结论；

（2）证明：由圆周角定理得到∠CEA＝90°，再证得△ACB∽△AEC，，根据相似三角形的性质即可证得结论．

（1）证明：连接BC，

∵CE是⊙O的切线，

∴∠B＝∠ACE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B+∠CAB＝90°，

∴∠ACE+∠CAB＝90°，

∵AC平分∠FAB，

∴∠CAE＝∠CAB，

∴∠ACE+∠CAE＝90°，即∠CEA＝90°，

∴CE⊥DF；

（2）解：∵∠CEA＝90°，

∴AC＝，

∵∠ACB＝∠CEA＝90°，∠B＝∠ACE，

∴△ACB∽△AEC，

∴，

解得，AB＝10，

∴⊙O的半径为5．