Question

如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线L上．依次以B，C′，D″为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°，这样点A走过的曲线依次为

AA′

，

A′A″

，

A″A″′

，其中

AA′

交CD于点P．
（1）求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长；
（2）求

AA′

的长；
（3）求图中部分的面积．
（4）求图中部分的面积．

Answer 1

分析：（1）由于旋转得到的两个图形全等，求出矩形ABCD的对角线就是矩形A′BC′D′的对角线，利用勾股定理求解即可；
（2）直接利用弧长公式计算就可以了，圆心角是90°；
（3）连接A″C′，就会得到一个以半径A′C′的扇形，利用面积割补，可看出阴影部分面积就等于扇形面积．
（4）连接BP，利用所给的矩形的边长，可得∠CPB的正弦值，故可求∠CPB，再利用平行可得到∠APB的度数，而阴影面积就等于扇形ABP与Rt△BPC的面积之和．因此可求得所求的面积．

解答：解：（1）由旋转得A′C′=AC=

AB2+AD2

=

22+12

=

5

（cm）．

（2）

AA′

的长为

90π×2

180

=π（cm）．

（3）连接A″C′，
由旋转的性质，△A′D′C′≌△A″D″C′，
故所求的面积S=S_{扇形C′A′A′′}=

90π×(A′C′)2

360

=

1

4

π×（

5

）²=

5

4

π（cm²）．

（4）连接BP，在Rt△BCP中，BC=1，BP=BA=2．
∴∠BPC=30°，CP=

3

，
∴∠ABP=30°，
∴T=S_扇形ABP+S_△PBC=

30π×22

360

+

1

2

×1×

3

=

π

3

+

3

2

（cm²）．

点评：本题考查了旋转的性质，勾股定理，弧长、扇形公式计算，反三角函数等知识．有一定难度．