Question

11．阅读理解
如图（1），在正多边形A₁A₂A₃…A_n的边A₂A₃上任取一不与点A₂重合的点B₂，并以线段A₁B₂为边在线段A₁A₂的上方作以正多边形A₁B₂B₃…B_n，把正多边形A₁B₂B₃…B_n叫正多边形A₁A₂…A_n的准位似图形，点A₃称为准位似中心．
特例论证
（1）如图（2）已知正三角形A₁A₂A₃的准位似图形为正三角形A₁B₂B₃，试证明：随着点B₂的运动，∠B₃A₃A₁的大小始终不变．
数学思考
（2）如图（3）已知正方形A₁A₂A₃A₄的准位似图形为正方形A₁B₂B₃B₄，随着点B₂的运动，∠B₃A₃A₄的大小始终不变？若不变，请求出∠B₃A₃A₄的大小；若改变，请说明理由．
归纳猜想
（3）在图（1）的情况下：
①试猜想∠B₃A₃A₄的大小是否会发生改变？若不改变，请用含n的代数式表示出∠B₃A₃A₄的大小（直接写出结果）；若改变，请说明理由．
①∠B₃A₃A₄+∠B₄A₄A₅+∠B₅A₅A₆+…+∠B_nA_nA₁=$\frac{90°（n-1）（n-2）}{n}$（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）先判断出△A₂A₁B₂≌△A₃A₁B₃，再利用等边三角形的性质即可得出结论；
（2）先判断出△A₃B₂B₃≌△DA₁B₂，再利用正方形的性质即可得出结论；
（3）①先判断出△A₃B₂B₃≌△DA₁B₂，再利用正多边形的边相等和每个内角即可得出结论；
②利用①的结论和方法即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△A₁A₂A₃与△A₁B₂B₃是正三角形，
∴A₁A₂=A₁A₃，A₁B₂=A₁B₃，∠A₂A₁A₃=∠B₂A₁B₃=60°，
∴∠A₂A₁B₂=∠A₃A₁B₃，
∴△A₂A₁B₂≌△A₃A₁B₃，
∴∠B₃A₃A₁=∠A₂=60°，
∴∠B₃A₃A₁的大小不变；

（2）∠B₃A₃A₄的大小不变，
理由：如图，在边A₁A₂上取一点D，使A₁D=A₃B₂，连接B₂D，
∵四边形A₁A₂A₃A₄与A₁B₂B₃B₄是正方形，
∴A₁B₂=B₂B₃，∠A₁B₂B₃=∠A₁A₂A₃=90°，
∴∠A₃B₂B₃+∠A₁B₂A₂=90°，∠A₂A₁B₂+∠A₁B₂A₂=90°，
∴∠A₃B₂B₃=∠A₂A₁B₂，
∴△A₃B₂B₃≌△DA₁B₂，
∴∠B₂A₃B₃=∠A₁DB₂，
∵A₁A₂=A₂A₃，A₁D=A₃B₂，
∴A₂B₂=A₂D，
∵∠A₁A₂A₃=90°，
∴△DA₂B₂是等腰直角三角形，
∴∠A₁DB₂=135°，
∴∠B₂A₃B₃=135°，
∵∠A₄A₃A₂=90°，
∴∠B₃A₃A₄=45°，
即：∠B₃A₃A₄的大小始终不变；

（3）①∠B₃A₃B₄的大小始终不变，理由：如图1，
在A₁A₂上取一点D，使A₁D=A₃B₂，
连接B₂D，
∵∠A₂A₁B₂=180°-∠A₁B₂A₂，∠A₃B₂B₃=180°-∠A₁B₂A₂，
∴∠A₂A₁B₂=∠A₃B₂B₃，
∵A₁B₂=B₂B₃，
∴△A₃B₂B₃≌△DA₁B₂，
∴∠B₂A₃B₃=A₁DB₂，
∵A₁A₂=A₂A₃，A₁D=A₃B₂，
∴A₂D=A₂B₂，
∴∠A₁DB₂=$\frac{1}{2}$（180°-∠A₁A₂B₂）=90°-$\frac{1}{2}$×$\frac{180°（n-2）}{n}$=90°-$\frac{90°（n-2）}{n}$
∴∠B₃A₃A₄=∠A₁DB₂-∠B₂A₃A₄=90°-$\frac{90°（n-2）}{n}$-$\frac{180°（n-2）}{n}$=$\frac{180°}{n}$；
②由①知，∠B₃A₃A₄=$\frac{180°}{2}$，
同①的方法可得，∠B₄A₄A₅=$\frac{180°}{n}$×2，∠B₅A₅A₆=$\frac{180°}{n}$×3，…，∠B_nA_nA₁=$\frac{180°}{n}$×（n-2），
∴①∠B₃A₃A₄+∠B₄A₄A₅+∠B₅A₅A₆+…+∠B_nA_nA₁
=$\frac{180°}{n}$+$\frac{180°}{n}$×2+$\frac{180°}{n}$×3+…$\frac{180°}{n}$×（n-2）=$\frac{90°（n-1）（n-2）}{n}$，
故答案为$\frac{90°（n-1）（n-2）}{n}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正多边形的性质，解本题的关键是判断出△A₃B₂B₃≌△DA₁B₂，用类比的思想解决问题是解决本题的难点．