Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B（2，0）和点C（0，8），且它的对称轴是直线x=-2．
（1）求抛物线与x轴的另一交点A的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）连接AC，BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A，点B）不重合，过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=-2，
∴由对称性可得A点的坐标为（-6，0）；

（2）∵点C（0，8）在抛物线y=ax²+bx+c的图象上
∴c=8．
将A（-6，0），B（2，0）代入表达式得
，
解得．
故所求解析式为y=-x²-x+8．

（3）依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即EF=，
过点F作FG⊥AB，垂是为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=，
∴=，
∴FG=×=8-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE．
=（8-m）×8-（8-m）（8-m），
=-m²+4m，

（4）存在．理由如下：
∵S=-m²+4m=-（m-4）²+8且-＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8，
∵m=4，
∴点E的坐标为（-2，0），
∴△BCE为等腰三角形．
分析：（1）知道对称轴了和x轴上另一点，就能求出该点．
（2）知道两点坐标和对称轴就能求出抛物线的解析式．
（3）依题意，AE=m，则BE=8-m，由题意可知△BEF∽△BAC，求出EF，过点F作FG⊥AB，垂是为G，则sin∠FEG=sin∠CAB，进而求出FG，由S=S_△BCE-S_△BFE，进而求得S与m之间的函数关系式．
（4）由S与m之间的函数关系式，求得S的最大值，算出点E坐标，判断三角形的形状．
点评：本题是二次函数的综合题，涉及到求抛物线的表达式和求最值等知识点，题不是很难，但要注意细节．