Question

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+2过点A（-3，0），B（1，0），
∴

0=9a-3b+2 0=a+b+2

解得

a=- 2 3 b=- 4 3

，
∴二次函数的关系解析式为y=-

2

3

x²-

4

3

x+2；

（2）存在．
∵如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n=-

2

3

m²-

4

3

m+2．
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
则PM=-

2

3

m²-

4

3

m+2，PN=-m，AO=3．
∵当x=0时，y=-

2

3

×0-

4

3

×0+2=2，
∴OC=2，
∴S_△PAC=S_△PAO+S_△PCO-S_△ACO
=

1

2

AO•PM+

1

2

CO•PN-

1

2

AO•CO
=

1

2

×3×（-

2

3

m²-

4

3

m+2）+

1

2

×2×（-m）-

1

2

×3×2
=-m²-3m
∵a=-1＜0
∴函数S_△PAC=-m²-3m有最大值
∴当m=-

b

2a

=-

3

2

时，S_△PAC有最大值．
∴n=-

2

3

m²-

4

3

m+2=-

2

3

×（-

3

2

）²-

4

3

×（-

3

2

）+2=

5

2

，
∴存在点P（-

3

2

，

5

2

），使△PAC的面积最大．


（3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ₁Q₂、正方形BCQ₄Q₃，则点Q₁，Q₂，Q₃，Q₄为符合题意要求的点．过Q₁点作Q₁D⊥y轴于点D，过点Q₂作Q₂E⊥x轴于点E，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
在△Q₁CD与△CBO中，
∵

∠1=∠3 Q1C=BC ∠2=∠4

，
∴△Q₁CD≌△CBO，
∴Q₁D=OC=2，CD=OB=1，
∴OD=OC+CD=3，
∴Q₁（2，3）；
同理可得Q₄（-2，1）；
同理可证△CBO≌△BQ₂E，
∴BE=OC=2，Q₂E=OB=1，
∴OE=OB+BE=1+2=3，
∴Q₂（3，1），
同理，Q₃（-1，-1），
∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q₁（2，3），Q₂（3，1），Q₃（-1，-1），Q₄（-2，1）．