Question

如图，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴．桥拱的DGD′部分为一段抛物线，顶点G的高度为8米，AD和A′D′的两侧高为5.5米的支柱，OA和OA′为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C′D′为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1：4．
（1）求桥拱DGD′所在抛物线的解析式及CC′的长；
（2）BE和B′E′为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A′B′为两个方向的行人及非机动车通行区．试求AB和A′B′的宽；
（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从OA（或OA′）区域安全通过？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线的对称轴是y轴，因而解析式一定是y=ax²+c的形式，根据条件可以求得抛物线上G，D的坐标分别是（0，8）和（15，5.5），利用待定系数法即可求解；
（2）根据坡度的定义，即垂直高度与水平宽度的比，即可求解；
（3）在抛物线解析式中，令x=4，得到的函数值与7+0.4=7.4米，进行比较即可判断．

解答：解：（1）设DGD′所在的抛物线的解析式y=ax²+c．
由题意得G（0，8），D（15，5.5）．
∴

8=c 5.5=225a+c

解得

a=- 1 90 c=8

∴DGD′所在的抛物线的解析式为y=-

1

90

x²+8（4分）
∴

AD

AC

=

1

4

，且AD=5.5，
∴AC=5.5×4=22（米）
∴CC′=2OC=2×（OA+AC）=2×（15+22）=74（米）．
答：CC′的长为74米．（6分）

（2）∵

EB

BC

=

1

4

，BE=4
∴BC=16（8分）
∴AB=AC-BC=22-16=6（米）．
答：AB和A′B′的宽都是6米．（10分）

（3）答：该大型货车可以从OA（或OA′）区域安全通过．（11分）
在y=-

1

90

x²+8中，当x=4时，
y=-

1

90

×16+8=7

37

45

（13分）
∵7

37

45

-（7+0.4）=

19

45

＞0
该大型货车可以从OA（或OA′）区域安全通过．（14分）

点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及坡度的定义，利用二次函数解决形状是抛物线的物体的计算问题．