Question

2．如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点，
（1）若BK=$\frac{7}{3}$KC，求$\frac{CD}{AB}$的值；
（2）联结BE，若BE平分∠ABC，则当AE=$\frac{1}{2}$AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明；
（3）试探究：当BE平分∠ABC，且AE=$\frac{1}{n}$AD（n＞2）时，线段AB、BC，CD三者之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

Answer 1

分析 （1）根据比例的性质得到$\frac{KC}{BK}$=$\frac{3}{7}$，根据相似三角形的性质计算即可；
（2）连接BD，取BD的中点F，连接EF交BC于G，根据三角形的中位线定理得到GF=$\frac{1}{2}$CD，EF=$\frac{1}{2}$AB，根据平行线的性质、角平分线的定义得到EG=$\frac{1}{2}$BC，即可得到答案；
（3）连接BD，作EF∥AB交BC于G，交BD于F，根据比例的性质、仿照（2）的作法解答即可．

解答 解：（1）∵BK=$\frac{7}{3}$KC，
∴$\frac{KC}{BK}$=$\frac{3}{7}$，
∵AB∥CD，
∴△CKD∽△BKA，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{KC}{BK}$=$\frac{3}{7}$；
（2）猜想：AB=BC+CD．
证明：连接BD，取BD的中点F，连接EF交BC于G，
由中位线定理，得EF∥AB∥CD，
∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=$\frac{1}{2}$BC，而GF=$\frac{1}{2}$CD，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∵EF=EG+GF，
即：$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC+$\frac{1}{2}$CD；
∴AB=BC+CD；
（3）猜想：AB=$\frac{1}{n-1}$BC+$\frac{1}{n-1}$CD．
证明：连接BD，作EF∥AB交BC于G，交BD于F，
∵AE=$\frac{1}{n}$AD，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{n-1}{n}$，
∵EF∥AB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{n-1}{n}$，即EF=$\frac{n-1}{n}$AB，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD，
同理，BG=$\frac{1}{n}$BC，GF=$\frac{1}{n}$CD，
∵EF=EG+GF，
即：$\frac{n-1}{n}$AB=$\frac{1}{n}$BC+$\frac{1}{n}$CD；
∴AB=$\frac{1}{n-1}$BC+$\frac{1}{n-1}$CD．

点评 本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，找出由特殊到一般探索规律．