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如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，AB=4，AD=3，动点M从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向终点A运动，同时动点N从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N作NP⊥AB，交AC于点P，连接MP．过点P作PQ⊥AD交AD于点Q，且PQ=AN，AQ=PN．已知动点运动了x（0＜x≤2）秒，且PN的长为

．在这个运动过程中，当动点运动了

秒时，MP=MA，则△MPA为等腰三角形．请问是否存在其它的x值使△MPA为等腰三角形？如果存在请求出x的值；如果不存在，请说明理由．

分析：根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①PM=PA时，根据等腰三角形三线合一的性质可得MQ=AQ，再根据矩形的对边相等可得AQ=PN，然后根据AD的长列出方程求解即可；②AP=QM时，在Rt△PAN中，利用勾股定理列式表示出AP，再表示出AM，然后列出方程求解即可；③AM=PM时，过点M作MH⊥AP于H，根据等腰三角形三线合一的性质表示出AH，再表示出AM，然后根据∠CAD的余弦值列式求解即可．

解答：解：存在其它x值，使△MPA为等腰三角形．
由题意知：DM=x，AN=2x，
①如图1，若PM=PA，
∵PQ⊥AD，
∴MQ=AQ，
∵AQ=PN，
∴MQ=AQ=PN=

x，
又∵DM+MQ+QA=AD，
∴x+

x=3，
即x=

；

②如图2，若AP=AM，
在Rt△PAN中，由勾股定理得：AP=

AN2+PN2

(2x)2+(

x)2

x，
∵AM=3-x．
∴

x=3-x，
解得x=

；
③如图3，若AM=PM时，过点M作MH⊥AP于H，
则AN=PH=

AP=

x，
在Rt△ACD中，AC=

32+42

=5，
cos∠CAD=

，
即

3-x

，
解得x=

．
综上所述，存在其它的x值，x=

或x=

，使△MPA为等腰三角形．

点评：本题是四边形综合题型，主要考查了等腰三角形两腰相等，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，难点在于要分情况讨论求解．

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（2013•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

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