Question

【题目】如图，已知抛物线的顶点为P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）设Q是直线BC上方该抛物线上除点P外的一点，且△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）Q为（2，3）．

【解析】

（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），然后把C点坐标代入可求出a，从而得到抛物线解析式；

（2）易得直线BC解析式为y＝﹣x+3，利用三角形面积公式可判断PQ∥BC，过P作PQ∥BC，交抛物线所得交点既为所求点Q．再求出直线PQ解析式为y＝﹣x+5，然后解方程组，可得Q点坐标．

解：（1）抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），

把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4＝3，解得a＝﹣1，

∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，

即y＝﹣x2+2x+3；

（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），

易得直线BC解析式为y＝﹣x+3，

∵S△PBC＝S△QBC，

∴PQ∥BC，

过P作PQ∥BC，交抛物线所得交点既为所求点Q．

∵P（1，4），

∴直线PQ解析式为y＝﹣x+5，

解方程组，

得：或，

∴Q为（2，3）．