Question

如图，已知，正方形纸片ABCD的边长为4，点P在BC边上，BP＝1，点E在AB边上，且∠BPE＝60°，沿PE翻折△EBP得到△EB′P． F是CD边上一点，沿PF翻折△FCP得到△FC′P，使点Cˊ落在射线PBˊ上．

（1）求证：EB′// C′F；
（2）连接B′F、C′E，求证：四边形EB′F C′是平行四边形．

Answer 1

（1）根据正方形的性质可得∠B＝∠C＝90°，根据折叠的性质可得∠EB′P＝∠B＝90°即∠EB′C′＝90°，∠FC′P＝∠C＝90°，即可得到∠EB′C′＝∠FC′P，从而证得结论；
（2）先解Rt△EBP求得BE的长，再根据折叠的性质可得∠FPC＝30°，根据含30°的直角三角形的性质可证得BE＝FC即EB′＝ FC′，再结合EB′// C′F即可证得结论．

试题分析：（1）∵正方形ABCD，
∴∠B＝∠C＝90°．
∵沿PE翻折△EBP得到△EB′P，
∴∠EB′P＝∠B＝90°即∠EB′C′＝90°．
∵沿PF翻折△FCP得到△FC′P，
∴∠FC′P＝∠C＝90°．
∴∠EB′C′＝∠FC′P．
∴EB′// C′F；
（2）在Rt△EBP中，
∵∠BPE＝60°，BP＝1，
∴BE＝．
∵沿PE翻折△EBP得到△EB′P，沿PF翻折△FCP得到△FC′P，
∴∠FPC＝30°
∵BC＝4，BP＝1，
∴PC＝3．
∴FC＝
∴BE＝FC即EB′＝ FC′
又∵EB′// C′F，
∴四边形EB′F C′是平行四边形．
点评：特殊四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.