Question

14．如图，已知抛物线y=ax²+c与直线$y=-\frac{3}{4}x-3$交于A，B两点，直线AB与y轴交于点C，点B的坐标为（1，$-\frac{15}{4}$），动点P在直线AB下方的抛物线上，动点Q在y轴上，动点D在线段AB上，且PD∥y轴．
（1）求A、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）求点P到直线AB的距离的最大值；
（3）是否存在以P、Q、C、D为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用坐标轴上点的坐标特征求出A点和C点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）延长PD交x轴于E，作PF⊥AB于F，如图1，设点P（m，$\frac{1}{4}$m²-4）（-4＜m＜1），则D（m，-$\frac{3}{4}$m-3），接着表示出PD=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m+1，然后证明Rt△PDF∽Rt△ACO，利用相似比得到PF=-$\frac{1}{5}$m²-$\frac{3}{5}$m+$\frac{4}{5}$，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）讨论：当以P、Q、C、D为顶点的四边形为菱形PCDQ时，PC=PD，利用两点间的距离公式得到m²+（$\frac{1}{4}$m²-4+3）²=（-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m+1）²，解方程求出m得到P点坐标，再计算出PD的长，然后计算出OQ的长，从而得到Q点坐标；当以P、Q、C、D为顶点的四边形为菱形PQCD时，DC=DP，利用两点间的距离公式得到m²+（-$\frac{3}{4}$m-3+3）²=（-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m+1）²，解法与前面一样去确定P点和Q点的坐标．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{3}{4}$x-3=0，解得x=4，则点A的坐标为（-4，0），
当x=0时，y=-$\frac{3}{4}$x-3=-3，则点C的坐标为（0，-3），
将A（-4，0）、B（1，-$\frac{15}{4}$）代入y=ax²+c得$\left\{\begin{array}{l}16a+c=0\\ a+c=-\frac{15}{4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{4}\\ c=-4\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-4；
（2）延长PD交x轴于E，作PF⊥AB于F，如图1，
在Rt△AOC中，∵OA=4，OC=3，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
设点P（m，$\frac{1}{4}$m²-4）（-4＜m＜1），则D（m，-$\frac{3}{4}$m-3），
∴PD=-$\frac{3}{4}$m-3-（$\frac{1}{4}$m²-4）=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m+1，
∵∠ADE=∠PDF，∠DAE=∠PFD，
∴∠DPF=∠EAD，
∴Rt△PDF∽Rt△ACO，
∴$\frac{PF}{OA}$=$\frac{PD}{AC}$，即$\frac{PF}{4}$=$\frac{-\frac{1}{4}{m}^{2}-\frac{3}{4}m+1}{5}$，
∴PF=-$\frac{1}{5}$m²-$\frac{3}{5}$m+$\frac{4}{5}$
=-$\frac{1}{5}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
当m=-$\frac{3}{2}$时，PE有最大值，最大值为$\frac{5}{4}$；
即点P到直线AB的距离的最大值是$\frac{5}{4}$；
（3）存在．
当以P、Q、C、D为顶点的四边形为菱形PCDQ时，PC=PD，如图2，
即m²+（$\frac{1}{4}$m²-4+3）²=（-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m+1）²，
整理得6m²-7m-24=0，解得m₁=-$\frac{3}{2}$，m₂=$\frac{8}{3}$（舍去），
此时P点坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{55}{16}$），
PD=$\frac{25}{16}$，
∴CQ=$\frac{25}{16}$，
∴OQ=3-$\frac{25}{16}$=$\frac{23}{16}$，
∴Q（0，-$\frac{23}{16}$）；
当以P、Q、C、D为顶点的四边形为菱形PQCD时，DC=DP，
即m²+（-$\frac{3}{4}$m-3+3）²=（-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m+1）²，
-$\frac{1}{4}$m2-$\frac{3}{4}$m+1=±$\frac{5}{4}$m，
当-$\frac{1}{4}$m2-$\frac{3}{4}$m+1=$\frac{5}{4}$m，解得m₁=-4+2$\sqrt{5}$，m₂=-4-2$\sqrt{5}$（舍去），
此时P点坐标为（-4+2$\sqrt{5}$，5-4$\sqrt{5}$），对应的Q点坐标为（0，$\frac{4-5\sqrt{5}}{2}$）；
当-$\frac{1}{4}$m2-$\frac{3}{4}$m+1=-$\frac{5}{4}$m，解得m₁=1-$\sqrt{5}$，m₂=1+$\sqrt{5}$（舍去），
此时P点坐标为（1-$\sqrt{5}$，$\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$），对应的Q点坐标为（0，$\frac{-7-5\sqrt{5}}{4}$）；
综上所述，满足条件的点为P（$-\frac{3}{2}$，$-\frac{55}{16}$），Q（0，$-\frac{23}{16}$）或P（$1-\sqrt{5}$，$\frac{{-5-\sqrt{5}}}{2}$），Q（0，$\frac{{-7-5\sqrt{5}}}{4}$）或P（$-4+2\sqrt{5}$，$5-4\sqrt{5}$），Q（0，$\frac{{4-5\sqrt{5}}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；灵活运用相似比表示线段之间的关系；利用菱形的性质和分类讨论的思想解决（3）小题．