Question

4．如图，在等腰直角△ABC中，点P为斜边AB上一动点（不与A、B两点重合），以CP为斜边在直线CP左侧作等腰直角△CPD．
（1）∠ACD和∠APC的数量关系为∠APC+∠ACD=90°或∠APC-∠ACD=90°；
（2）判定△ADP的形状并证明；
（3）若AB=$\sqrt{6}$，求S_△BCD．

Answer 1

分析 （1）①点D在△ABC内部时，作PE⊥AB交BC于E，证出△PBE是等腰直角三角形，∠ACD+∠1=45°，得出∠ACD=∠2，因此∠ACD+∠APC=90°；
②当点D在△ABC外部时，作CM⊥AB于M，由等腰直角三角形的性质得出∠ACD=∠1，由三角形的外角性质得出∠APC-∠ACD=90°；即可得出结论；
（2）延长CD至F，使DF=CD，则PD垂直平分CF，由线段垂直平分线的性质得出PF=PC，证出∠CPF=90°，点D是△PCF的外接圆圆心，证出点A、F、P、C四点共圆，得出DA=DP即可；
（3）作DG⊥BC于G，DH⊥AC于H，由垂径定理和矩形的性质得出DG=CH=$\frac{1}{2}$AC，由等腰直角三角形的性质得出AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{3}$，得出DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由三角形面积公式即可得出结果．

解答 解：（1）∠APC+∠ACD=90°或∠APC-∠ACD=90°，理由如下：
①点D在△ABC内部时，作PE⊥AB交BC于E，如图1所示：
∵△ABC和△CPD是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠BAC═∠DCP=∠DPC=45°，
∴△PBE是等腰直角三角形，∠ACD+∠1=90°-45°=45°，
∴∠BEP=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠ACD=∠2，
∵∠2+∠APC=90°，
∴∠ACD+∠APC=90°；
故答案为：∠APC+∠ACD=90°或∠APC-∠ACD=90°；
②当点D在△ABC外部时，如图2所示：
作CM⊥AB于M，则∠ACM=45°，
∵∠DCP=45°，
∴∠ACD=∠1，
∵∠APC=90°+∠1，
∴∠APC-∠ACD=90°；
（2）△ADP是等腰三角形，理由如下：
延长CD至F，使DF=CD，连接PF，如图3所示：
∵∠PDC=90°，
∴PD垂直平分CF，
∴PF=PC，
∴∠F=∠PCD=45°，∠FPD=∠DPC=45°，
∴∠CPF=90°，
∴点D是△PCF的外接圆圆心，
∵∠BAC=∠F=45°，
∴点A、F、P、C四点共圆，
∴DA=DP，即△ADP是等腰三角形；
（3）作DG⊥BC于G，DH⊥AC于H，如图4所示：
则CH=AH=$\frac{1}{2}$AC，四边形DHCG是矩形，
∴DG=CH=$\frac{1}{2}$AC，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=$\sqrt{6}$，
∴AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•DG=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、四点共圆、垂径定理、矩形的判定、分类讨论等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线证明三角形是等腰直角三角形和证明四点共圆才能得出结论．