【题目】已知,如图,抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点,点A在点B左侧,点B的坐标为(1,0)、C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值.
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?如存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2+x﹣3(2)(3)P1(﹣3,﹣3)或P2(,3)或P3(,3)
【解析】
(1)把点B(1,0)、C(0,﹣3)标代入抛物线y=ax2+3ax+c求出a,c的值即可;
(2)过点D作DE∥y轴交AC于E,利用待定系数法求出直线AC的解析式,故可得出DE=﹣(m+2)2+3,,再由当m=﹣2时,DE有最大值为3,此时,S△ACD有最大值,从而可求出结论;
(3) ①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1,过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1 ,此时四边形ACP1E1为平行四边形,根据PC两点的纵坐标相等可得出P点坐标;②平移直线AC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,当AC=PE时,四边形ACEP为平行四边形,令P(x,3),由x2+ x﹣3=3,得出x的值即可得出P点坐标.
(1)解:将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得: ,
解得:a= ,c=﹣3.
∴抛物线的解析式为y= x2+ x﹣3.
(2)解:令y=0,则 x2+ x﹣3=0,解得x1=1,x2=﹣4,
∴A(﹣4,0)、B(1,0).
令x=0,则y=﹣3,
∴C(0,﹣3),
∴S△ABC= ×5×3= .
设D(m, m2+ m﹣3),
过点D作DE∥y轴交AC于E.直线AC的解析式为y=﹣ x﹣3,则E(m,﹣ m﹣3),
DE=﹣ m﹣3﹣( m2+ m﹣3)=﹣ (m+2)2+3,
当m=﹣2时,DE有最大值为3,
此时,S△ACD有最大值为 ×DE×4=2DE=6.
∴四边形ABCD的面积的最大值为6+ = ,
(3)解:如图所示:
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1 , 过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1 , 此时四边形ACP1E1为平行四边形,
∵C(0,﹣3),
∴设P1(x,﹣3),
∴ x2+ x﹣3=﹣3,
解得x1=0,x2=﹣3,
∴P1(﹣3,﹣3);
②平移直线AC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,当AC=PE时,四边形ACEP为平行四边形,
∵C(0,﹣3),
∴设P(x,3),
∴ x2+ x﹣3=3,
解得x= 或x= ,
∴P2( ,3)或P3( ,3),
综上所述存在3个点符合题意,坐标分别是P1(﹣3,﹣3)或P2( ,3)或P3( ,3).
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,过B作BE⊥CD,垂足为点E,连接AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.
(1)求证:△ABF∽△EAD;
(2)若AB=4,∠BAE=30°,求AE的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3,…和B1,B2,B3,…分别在直线y=x+b和x轴上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,…都是等腰直角三角形.如果点A1(1,1),那么点A2018的纵坐标是_____.
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动,终点为B点;点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动,终点为A点.点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动,当一个点到达终点时另一个点也停止运动,在某时刻,分别过P和Q作PE⊥l于E,QF⊥l于F.设运动时间为t秒,则当t=______秒时,△PEC与△QFC全等.
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【题目】如图,在中,,平分交于点.
(1)若BC=7,BD=4,则点到的距离是________;
(2)若,点到的距离是8,则的长是________.
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【题目】对于实数a,我们规定:用符号[]表示不大于的最大整数,称[]为a的根整数,例如:[]=3,[]=3.
(1)仿照以上方法计算:[]= ;[]= .
(2)若[]=1,写出满足题意的x的整数值 .
(3)如果我们对a连续求根整数,直到结果为1为止.例如:对10连续求根整数2次[]=3→[]=1,这时候结果为1.对145连续求根整数, 次之后结果为1.
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【题目】如图,直线y=kx﹣2与双曲线y=-(x<0)交于点A,与x轴交于点C,与y轴交于点D.AB⊥x轴于点B,AE⊥y轴于点E, △ABC的面积为2.
(1)直接写出四边形OCAE的面积;
(2)求点C的坐标.
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【题目】某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?
(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调a(0<a<200)元,且限定商店最多购进A型电脑60台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.
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