Question

25、如图：AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）如果：∠D=30°，BD=10，求：⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连OC，由直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再通过角度代换求出∠OCD=90°．
（2）由∠D=30°，得到OC与OD的关系，从而得到OB=BD．

解答：（1）证明：连OC，如图；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
又∵∠A=∠ACO，∠DCB=∠A，
∴∠ACO=∠DCB．
∴∠OCB=90°．
∴CD是⊙O的切线．

（2）解∵∠D=30°，
∴∠COB=60°，
∴△OCB是等边三角形；
∴∠BCD=30°，
∴BD=BC=BO=10，
即⊙O的半径为10．

点评：熟练掌握圆的切线的判定定理．学会把证明切线的问题转化为证明直线垂直的问题．记住在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半．