如图.在直角坐标系中.矩形OABC的两边在坐标轴上.其中点B的坐标为(4.3).过点A的直线AD的解析式为y=2x+3.点P是直线AD上一动点.点Q是线段BC上一动点(1)若AP⊥AQ.求AQ的解析式,(2)以P.B.C为顶点作平行四边形PBEC.当对角线PE的值最小时.求点P的坐标,(3)将直线y=2x+3向右平移3个单位.在该直线上存在点N.使△ANQ为等腰三角形.请直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的两边在坐标轴上，其中点B的坐标为（4，3），过点A的直线AD的解析式为y=2x+3，点P是直线AD上一动点，点Q是线段BC（包括B，C两点）上一动点
（1）若AP⊥AQ，求AQ的解析式；
（2）以P，B，C为顶点作平行四边形PBEC，当对角线PE的值最小时，求点P的坐标；
（3）将直线y=2x+3向右平移3个单位，在该直线上存在点N，使△ANQ为等腰三角形，请直接写出平移后的直线解析式和所有满足条件的点N坐标．

分析（1）首先根据直线AD的解析式为y=2x+3，且AP⊥AQ，求出直线AQ的斜率；然后应用点斜式，求出直线AQ的解析式即可；
（2）首先连接PE交BC于点M，判断出当MP⊥AD时，MP的值最小；然后应用点斜式，求出直线PE的解析式；最后求出直线AD、直线PE的交点P的坐标即可．
（3）首先求出将直线y=2x+3向右平移3个单位后的直线解析式是：y=2x-3；然后设AN⊥NQ，且AN=NQ，点N坐标是（d，2d-3），点Q的坐标是（4，e），根据等腰三角形的性质，求出满足条件的点N坐标即可．

解答解：（1）如图1，
∵直线AD的解析式为y=2x+3，且AP⊥AQ，
∴直线AQ的斜率为-$\frac{1}{2}$，
∴设直线AQ的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，
∵四边形OABC是矩形，且点B的坐标为（4，3），
∴点A的坐标为（0，3），
∴b=3，
∴直线AQ的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3；

（2）如图2，连接PE交BC于点M，
∵四边形PBEC是平行四边形，
∴PM=ME=$\frac{1}{2}$PE，
∴当MP⊥AD时，MP的值最小，
即PE⊥AD时，对角线PE的值最小，
∵直线AD的解析式为y=2x+3，且PE⊥AD，
∴直线PE的斜率为-$\frac{1}{2}$，
∴设直线PE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+c，
∵四边形OABC是矩形，且点B的坐标为（4，3），点C的坐标为（4，0），
∴点M的坐标为（4，1.5），
∴-$\frac{1}{2}$×4+c=1.5，
解得c=3.5，
∴直线PE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3.5，
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+3\\ y=-\frac{1}{2}x+3.5\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{5}\\ y=\frac{17}{5}\end{array}\right.$，
∴当对角线PE的值最小时，点P的坐标是（$\frac{1}{5}$，$\frac{17}{5}$）．

（3）如图3，
∵将直线y=2x+3向右平移3个单位，
∴平移后的直线解析式是：y=2（x-3）+3=2x-3，
设AN⊥NQ，且AN=NQ，点N坐标是（d，2d-3），点Q的坐标是（4，e），
∵AN=NQ，
∴AN²=NQ²，
∴d²+（2d-3-3）²=（d-4）²+（2d-3-e）²，
整理，可得
（e+3）²-4d（e+3）+16d-20=0…（1），
∵A（0，3），Q（4，e），
∴AQ的中点的坐标是（2，$\frac{e+3}{2}$），
∴$\frac{e-3}{4}$×$\frac{2d-3-\frac{e-3}{2}}{d-2}$=-1，
整理，可得
（e-3）²-（4d-6）（e-3）-8d+16=0…（2），
（1）-（2），可得6e-18=0，解得e=3，
把e=3代入（2），可得16-8d=0，解得d=2，
∴点N坐标是（2，1），
综上所述平移后的直线解析式是y=2x-3，满足条件的点N坐标是（2，1）．

点评此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．

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2．

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12．