如图(1).AB∥CD.点M.N分别为AB.CD上的点(1)若点P1在两平行线内部.∠BMP1=45°.∠DNP1=30°.则∠MP1N=75°,.若P1.P2在两平行线内部.且P1P2不与AB平行.如图.请你猜想∠AMP1+∠P1P2N与∠MP1P2+∠P2ND的关系.并证明你的结论,.若P1.P2.P3在两平行线内部.顺次连接M.P1.P2.P3.N.且P1.P2.P3不与AB平行.直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．如图（1），AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点
（1）若点P₁在两平行线内部，∠BMP₁=45°，∠DNP₁=30°，则∠MP₁N=75°；
（2）如图（2），若P₁，P₂在两平行线内部，且P₁P₂不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP₁+∠P₁P₂N与∠MP₁P₂+∠P₂ND的关系，并证明你的结论；
（3）如图（3），若P₁，P₂，P₃在两平行线内部，顺次连接M，P₁，P₂，P₃，N，且P₁，P₂，P₃不与AB平行，直接写出你得到的结论．

分析（1）过P₁作P₁E∥AB，进而利用∠1=∠BMBMP₁=45°，∠2=∠DNP₁=30°，求出即可；
（2）分别过点P₁、P₂作P₁E∥AB，P₂F∥CD，由平行线的性质可知，∠1=∠AMP₁，∠FP₂P₁=∠P₂P₁E，∠FP₂N=∠4，所以∠AMP1+∠3+∠4=∠1+∠2+∠P₂ND，故∠AMP₁+∠P₁P₂N=∠MP₁P₂+∠P₂ND；
（3）分别过点P₁、P₂，P₃作P₁E∥AB，P₂F∥CD，P₃H∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，从而可得∠8+∠4+∠5+∠1=∠6+∠7+∠2+∠3，进而得到∠AMP₁+∠CNP₃+∠P₁P₂P₃=∠MP₁P₂+∠P₂P₃N．

解答解：（1）过P₁作P₁E∥AB，
∵AB∥CD，
∴P₁E∥AB∥CD，
∴∠1=∠BMBMP₁=45°，∠2=∠DNP₁=30°，
∴∠MP₁N=45°+30°=75°．
故答案为：75°．

（2）∠AMP₁+∠P₁P₂N=∠MP₁P₂+∠P₂ND，
分别过点P₁、P₂作P₁E∥AB，P₂F∥CD，
∵AB∥CD，
∴P₁E∥AB∥P₂F∥CD，
∴∠1=∠AMP₁，∠2=∠3，∠FP₂N=∠4，
∴∠AMP₁+∠3+∠4=∠1+∠2+∠P₂ND，
∴∠AMP₁+∠P₁P₂N=∠MP₁P₂+∠P₂ND；

（3）分别过点P₁、P₂，P₃作P₁E∥AB，P₂F∥CD，P₃H∥CD，
∵AB∥CD，
∴P₁E∥AB∥P₂F∥CD∥P₃H，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，
∴∠8+∠4+∠5+∠1=∠6+∠7+∠2+∠3，
∴∠AMP₁+∠CNP₃+∠P₁P₂P₃=∠MP₁P₂+∠P₂P₃N．

点评本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行?同位角相等，②两直线平行?内错角相等，③两直线平行?同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．

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