Question

1．平面直角坐标系中，矩形OABC放置如图，点A（3，0）、C（0，9），现将它绕点B逆时针旋转得矩形O′A′BC′，点O的对应点O′在x轴上，O′C′交AB于D．
求：（1）点O′的坐标；（2）线段AD的长；（3）点C′的坐标．

Answer 1

分析 （1）连接BO和BO'，由题意知OA=O'A，从而得出点O′的坐标；
（2）先证明△BDC'≌△O'DA，可得C'D=AD=m，再由勾股定理即可求出m的长即可；
（3）作C′M⊥x轴于M，则C′M∥AB，得出△O′C′M∽△O′DA，得出对应边成比例求出C′M=$\frac{36}{5}$，O′M=$\frac{27}{5}$，得出OM=$\frac{3}{5}$，即可得出点C′的坐标．

解答 解：（1）由题意知OA=O'A=3，
∴点O'的坐标为（3，0）；
（2）设AD=m，
由题意得：BC'=O'A=3，
在△BDC'≌△O'DA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BC′D=∠O′AD}&{\;}\\{∠BDC′=∠O′DA}&{\;}\\{BC′=O′A}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDC'≌△O'DA（AAS），
∴C'D=AD=m，则DO'=9-m，
在Rt△ADO'中，AD²+AO'²=DO'²，
∴m²+3²=（9-m）²，
解得：m=4，
∴线段AD的长度为 4．
（3）作C′M⊥x轴于M，则C′M∥AB，
∴△O′C′M∽△O′DA，
∴$\frac{C′M}{AD}=\frac{C′O′}{O′D}$=$\frac{O′M}{O′A}$，
∴$\frac{C′M}{4}=\frac{9}{5}$=$\frac{O′M}{3}$，
解得：C′M=$\frac{36}{5}$，O′M=$\frac{27}{5}$，
∴OM=6-$\frac{27}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∴点C′的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{36}{5}$）．

点评 本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质、旋转的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．