Question

【题目】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE=4，BE=1.

【解析】

（1）连接DB，DC，证明Rt△BED≌Rt△CFD，再运用全等三角形的性质即可证明；

（2）.先证明△AED≌△AFD得到AE=AF，设BE=x，则CF=x， 利用线段的和差即可完成解答.

（1）证明：连接BD，CD，

∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，

∵DG⊥BC且平分BC，

∴BD=CD，

在Rt△BED与Rt△CFD中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE=CF；

（2）解：在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，

设BE=x，则CF=x，

∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，

∴5﹣x=3+x，解得：x=1，

∴BE=1，即AE=AB﹣BE=5﹣1=4．