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如图,在△AOB中,OA=OB=8,∠AOB=90°,矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上,若tanCDO=
4
3
,则矩形CDEF面积的最大值s=
100
7
100
7
分析:根据设CD=x,CF=y.过F作FH⊥AO于H.在 Rt△COD中,用含x和y的代数式分别表示出CO、AH的长,进而表示出矩形CDEF的面积,再配方可求出面积的最大值.
解答:解:设CD=x,CF=y.过F作FH⊥AO于H.在 Rt△COD中,
tan∠CDO=
4
3

sin∠CDO=
4
5
,cos∠CDO=
3
5

CO=
4
5
x

∵∠FCH+∠OCD=90°,
∴∠FCH=∠CDO.
HC=y•cos∠FCH=
3
5
y

FH=
CF2-CH2
=
4
5
y

∵△AHF是等腰直角三角形,
AH=FH=
4
5
y

∴AO=AH+HC+CO.
7y
5
+
4x
5
=8

y=
1
7
(40-4x)

易知S矩形CDEF=xy=
1
7
(40x-4x2)=-
4
7
[(x-5)2-25]

∴当x=5时,矩形CDEF面积的最大值为
100
7

故答案为:
100
7
点评:本题考查了二次函数与几何知识(矩形)的综合应用和求二次函数的最值,将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件.
练习册系列答案
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精英家教网已知:如图,在△AOB中,OA⊥OB,OC⊥AB于C,OB=4
5
cm,OA=2
5
cm,以O为圆心4cm为半径作⊙O.求证:AB与⊙O相切.

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精英家教网如图,在△AOB中,OA=OB=8,∠AOB=90°,矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上.
(1)若C、D恰好是边AO,OB的中点,求矩形CDEF的面积;
(2)若tan∠CDO=
43
,求矩形CDEF面积的最大值.

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(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)求证:AB∥CD.

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如图,在△AOB中,A、B两点的坐标分别为(2,4)和(6,2),求△AOB的面积.

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