Question

4．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．
（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；
（2）若M（t，y₁），N（t+1，y₂），R（t+3，y₃）三点均在函数$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y₁，y₂，y₃构成“和谐三组数”，求实数t的值；
（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x₁，0），与抛物线y=ax²+3bx+3c（a≠0）交于B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）两点．
①求证：A，B，C三点的横坐标x₁，x₂，x₃构成“和谐三组数”；
②若a＞2b＞3c，x₂=1，求点P（$\frac{c}{a}$，$\frac{b}{a}$）与原点O的距离OP的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由和谐三组数的定义进行验证即可；
（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y₁、y₂、y₃，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）①由直线解析式可求得x₁=-$\frac{c}{b}$，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x₂+x₃=-$\frac{b}{a}$，x₂x₃=$\frac{c}{a}$，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c=0，可得c=-（a+b），由a＞2b＞3c可求得$\frac{b}{a}$的取值范围，令m=$\frac{b}{a}$，利用两点间距离公式可得到OP²关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP²的取值范围，从而可求得OP的取值范围．

解答 解：
（1）不能，理由如下：
∵1、2、3的倒数分别为1、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$≠1，1+$\frac{1}{2}$≠$\frac{1}{3}$，1+$\frac{1}{3}$≠$\frac{1}{2}$
∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；
（2）∵M（t，y₁），N（t+1，y₂），R（t+3，y₃）三点均在函数$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象上，
∴y₁、y₂、y₃均不为0，且y₁=$\frac{k}{t}$，y₂=$\frac{k}{t+1}$，y₃=$\frac{k}{t+3}$，
∴$\frac{1}{{y}_{1}}$=$\frac{t}{k}$，$\frac{1}{{y}_{2}}$=$\frac{t+1}{k}$，$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{t+3}{k}$，
∵y₁，y₂，y₃构成“和谐三组数”，
∴有以下三种情况：
当$\frac{1}{{y}_{1}}$=$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$时，则$\frac{t}{k}$=$\frac{t+1}{k}$+$\frac{t+3}{k}$，即t=t+1+t+3，解得t=-4；
当$\frac{1}{{y}_{2}}$=$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$时，则$\frac{t+1}{k}$=$\frac{t}{k}$+$\frac{t+3}{k}$，即t+1=t+t+3，解得t=-2；
当$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$时，则$\frac{t+3}{k}$=$\frac{t}{k}$+$\frac{t+1}{k}$，即t+3=t+t+1，解得t=2；
∴t的值为-4、-2或2；
（3）①∵a、b、c均不为0，
∴x₁，x₂，x₃都不为0，
∵直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x₁，0），
∴0=2bx₁+2c，解得x₁=-$\frac{c}{b}$，
联立直线与抛物线解析式，消去y可得2bx+2c=ax²+3bx+3c，即ax²+bx+c=0，
∵直线与抛物线交与B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）两点，
∴x₂、x₃是方程ax²+bx+c=0的两根，
∴x₂+x₃=-$\frac{b}{a}$，x₂x₃=$\frac{c}{a}$，
∴$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{{x}_{2}{x}_{3}}$=$\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}$=-$\frac{b}{c}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∴x₁，x₂，x₃构成“和谐三组数”；
②∵x₂=1，
∴a+b+c=0，
∴c=-a-b，
∵a＞2b＞3c，
∴a＞2b＞3（-a-b），且a＞0，整理可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞2b}\\{5b＞-3a}\end{array}\right.$，解得-$\frac{3}{5}$＜$\frac{b}{a}$＜$\frac{1}{2}$，
∵P（$\frac{c}{a}$，$\frac{b}{a}$）
∴OP²=（$\frac{c}{a}$）²+（$\frac{b}{a}$）²=（$\frac{-a-b}{a}$）²+（$\frac{b}{a}$）²=2（$\frac{b}{a}$）²+2$\frac{b}{a}$+1=2（$\frac{b}{a}$+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
令m=$\frac{b}{a}$，则-$\frac{3}{5}$＜m＜$\frac{1}{2}$且m≠0，且OP²=2（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
∵2＞0，
∴当-$\frac{3}{5}$＜m＜-$\frac{1}{2}$时，OP²随m的增大而减小，当m=-$\frac{3}{5}$时，OP²有最大值$\frac{26}{50}$，当m=-$\frac{1}{2}$时，OP²有最小值$\frac{1}{2}$，
当-$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{1}{2}$时，OP²随m的增大而增大，当m=-$\frac{1}{2}$时，OP²有最小值$\frac{1}{2}$，当m=$\frac{1}{2}$时，OP²有最大值$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤OP^2＜$\frac{5}{2}$且OP²≠1，
∵P到原点的距离为非负数，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤OP＜$\frac{\sqrt{10}}{2}$且OP≠1．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在（1）中注意利用和谐三数组的定义，在（2）中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在（3）①中用a、b、c分别表示出x₁，x₂，x₃是解题的关键，在（3）②中把OP²表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．