Question

13．如图，抛物线y=x²-2x-3交x轴于A、B，交y轴于C；
（1）求sin∠ACB；
（2）P是抛物线上一点．若∠PAC=∠BCO，求点P的坐标；
（3）Q是抛物线上一点．QE⊥直线BC于E．若∠CQE=∠BCO，求Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值得对应关系，可得A，B，C点坐标，根据三角形的面积，可得AD的长，根据正弦函数的定义，可得答案；
（2）存在．如图2中，∠P₁AO=∠BCO，设AP₁交y轴于E，理由相似三角形求出OE的长，再求出直线CE与抛物线的交点即可解决问题，根据对称性再求出P₂坐标即可．
（3）根据平行线的性质，可得∠1与∠2的关系，根据余角的性质，可得∠3与∠4的关系，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案．

解答 解：（1）过A点作AD⊥BC于D点，如图1，
当x=0时，y=-3，即C点坐标为（0，-3），
当y=0时，解得x=3，x=-1，即A（3，0）B（-1，0），
由勾股定理，得
BC=$\sqrt{10}$，AC=3$\sqrt{2}$．
由△BAC的面积，得
$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$AB•OC，
$\frac{\sqrt{10}}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×4×3，
解得AD=$\frac{12}{\sqrt{10}}$，
sin∠ACB=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\frac{12}{\sqrt{10}}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；

（2）存在．
理由：如图2中，设PA交y轴于M，作MN⊥AC于N．

设MN=CN=x，
∵∠MAN=∠BCO，
∴tan∠MAN=tan∠BCO=$\frac{1}{3}$，
∴AN=2x，
∴AC=CN+AN=3$\sqrt{2}$，
∴3x=3$\sqrt{2}$，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴MC=$\sqrt{2}$x=2，OM=3-2=1．
∴M（0，-1），
∴直线PA的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=\frac{1}{3}x-1}\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍），$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=-\frac{11}{9}}\end{array}\right.$，
∴当点P坐标（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{11}{9}$）时，∠PAO=∠BCO，
（3）如图3，
作CQ∥AB，作QE⊥BC，
∴∠1=∠2，∠QEC=90°．
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠4=∠3．
当y=-3时，x²-2x-3=-3，
解得x=0或x=2，
即Q点坐标为（2，-3）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰直角三角形性质，一次函数等知识，解（2）题的关键是构建一次函数，学会利用方程组求函数交点坐标，解（3）的关键是利用平行线的性质得出∠1与∠2的关系，余角的性质，得出∠3与∠4的关系，属于中考压轴题．