Question

一列火车在A城的正北240km处，以120km/h的速度驶向A城．同时，一辆汽车在A城的正东120km处，以120km/h速度向正西方向行驶．假设火车和汽车的行驶方向和速度都保持不变，问何时火车与汽车之间的距离最近？当火车与汽车距离最近时，汽车是否已过铁路与公路的交叉口？

Answer 1

解：如图所示：

由题意得，OA=240-120t，OB=120-120t，
在Rt△AOB中，AB²=OA²+OB²=（240-120t）²+（120-120t）²=28800（t-）²+7200，
当t=时，AB之间的距离最小，此时AB==60km，
当t=h时，汽车运动的距离为120×=180km＞120km，
故已过铁路与公路的交叉口．
答：当经过小时时汽车与火车的距离最近，此时汽车已过铁路与公路的交叉口．
分析：画出示意图，利用勾股定理表示出两车的距离，然后利用配方法求出两车的距离最小值，计算出汽车行走路程与120km比较，可判断是否已过交叉口．
点评：本题考查了二次函数的应用、勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出两车之间的距离表达式，注意掌握配方法求二次函数最值得应用，难度较大．