Question

已知二次函数 (a、m为常数，且a¹0)。

（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。

①当△ABC的面积等于1时，求a的值：

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析（2）①a=-8或a=8②或或

【解析】解：（1）证明：，

令，即

∵当a¹0时，。

∴方程有两个不相等的实数根。

∴当a¹0时，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。

（2）①∵，

∴点C的坐标为(,)。

当y=0时，。解得x₁=m，x₂=m+1。所以AB=1。

△ABC的面积等于1时，。

∴，或。

∴a=-8或a=8。

②当x=0时，y= am²+am，所以点D的坐标为(0, am²+am)。

当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，。

∴或。

∴或或。

（1）由一元二次方程根的判别式大于0进行证明。

（2）①根据△ABC的面积等于1列方程求解。

②根据△ABC的面积与△ABD的面积相等列方程求解。